Transversal Definició

Un transversal produeix 8 angles, tal com es mostra al gràfic anterior:

• 4 amb cadascuna de les dues línies, és a dir, α β γ i δ i després α ₁ , β 1 , γ 1 i δ _{1 < /sub>; i}

• 4 de les quals són interiors (entre les dues línies), a saber α β γ ₁ i δ ₁ i 4 de les quals són exteriors, és a dir, α 1 , β ₁ , γ i δ.

Una transversal que talla dues línies paral·leles en angles rectes s’anomena perpendicular transversal. En aquest cas, els 8 angles són angles correctes. Quan les línies són paral·leles, un cas que sovint es considera, un transversal produeix diversos congruent i diversos angles suplementaris . Algunes d’aquestes parelles d’angle tenen noms específics i es discuteixen a continuació:

Angles alternatius

Un parell d’angles alternatius. Amb línies paral·leles, són congruents.

Els angles alternatius són els quatre parells d’angles que:

• Have distinct vertex points,

• Estirar -se als costats oposats de la transversal i

• Els dos angles són interiors o els dos angles són exteriors.

Si els dos angles d’una parella són congruents, els angles de cadascuna de les altres parelles també són congruents. Un teorema de geometria absoluta (per tant, vàlid tant en hiperbòlic com geometria euclidiana ), demostra que si els angles d'un parell d'angles alternatius d'un transvers són congruents, les dues línies són paral·lels (no intervinguts). A partir del postulat paral·lel d’Euclides que si les dues línies són paral·leles, els angles d’un parell d’angles alternatius d’un transversal són congruents.

Angles corresponents

Un parell d’angles corresponents. Amb línies paral·leles, són congruents.

Els angles corresponents són els quatre parells d’angles que:

• Tenen punts de vèrtex diferents,

• Estirar -se al mateix costat de la transversal i

• Un angle és interior i l’altre exterior.

Dues línies són paral·leles si i només si els dos angles de qualsevol parell d’angles corresponents de qualsevol transversal són congruents. Un teorema de Geometria absoluta (per tant, vàlid tant en la geometria hiperbòlica com en euclidiana), demostra que si els angles d’un parell d’angles corresponents d’un transversal són congruents, les dues línies són paral·leles (no intervinent) . A partir del postulat paral·lel d’Euclides que si les dues línies són paral·leles, els angles d’un parell d’angles corresponents d’un transversal són congruents. Si els angles d’un parell d’angles corresponents són congruents, els angles de cadascuna de les altres parelles també són congruents. A les diverses imatges amb línies paral·leles en aquesta pàgina, els parells d'angle corresponents són: α = α ₁ , β = β ₁ , γ = γ ₁ i δ = δ ₁ .

Angles interiors consecutius

Un parell d’angles consecutius. Amb línies paral·leles, afegeixen fins a dos angles rectes.

Els angles interiors consecutius són els dos parells d’angles que:

• Tenen punts de vèrtex diferents,

• Estirar -se al mateix costat de la transversal i

• Són tots dos interiors.

Dues línies són paral·leles si i només si els dos angles de qualsevol parell d’angles interiors consecutius de qualsevol transversal són suplementaris (suma a 180 °). Un teorema de geometria absoluta (per tant, vàlid tant en la geometria hiperbòlica com en euclidiana), demostra que si els angles d’un parell d’angles interiors consecutius són suplementaris, les dues línies són paral·leles (no intervinitzants). A partir del postulat paral·lel d’Euclides que si les dues línies són paral·leles, els angles d’un parell d’angles interiors consecutius d’un transversal són suplementaris. Si un parell d’angles interiors consecutius és suplementari, l’altra parella també és suplementària.

Si tres línies en posició general formen un triangle es tallen per un transversal, les longituds dels sis segments resultants satisfan el teorema de Menelaus .

La formulació d'Euclides del postulat paral·lel es pot indicar en termes de transversal. Concretament, si els angles interiors del mateix costat de la transversal són inferiors a dos angles rectes, les línies s’han d’entrecreuar. De fet, Euclides utilitza la mateixa frase en grec que es tradueix generalment com a transversal.

La proposició 27 d'Euclides afirma que si un transversal intersecciona dues línies de manera que els angles interiors alternatius són congruents, les línies són paral·leles. L’euclides ho demostra per contradicció: si les línies no són paral·leles, s’han d’entrecreuar i es forma un triangle. Aleshores, un dels angles alternatius és un angle exterior igual a l’altre angle que és un angle interior oposat al triangle. Això contradiu la proposició 16 que afirma que un angle exterior d’un triangle és sempre més gran que els angles interiors oposats.

La proposició 28 d'Euclid amplia aquest resultat de dues maneres. Primer, si un transversal intersecciona dues línies de manera que els angles corresponents són congruents, les línies són paral·leles. En segon lloc, si un transversal intersecciona dues línies de manera que els angles interiors al mateix costat de la transversal són complementaris, les línies són paral·leles. Això es desprèn de la proposta anterior aplicant el fet que els angles oposats de les línies que s’entrecreuen són iguals i que els angles adjacents d’una línia són suplementaris. Tal com va assenyalar Proclus, Euclides només dóna tres dels sis criteris possibles per a les línies paral·leles.

La proposició 29 d'Euclid és una conversa per als dos anteriors. Primer, si un transversal intersecciona dues línies paral·leles, els angles interiors alternatius són congruents. Si no és així, un és més gran que l’altre, cosa que implica que el seu suplement és inferior al suplement de l’altre angle. Això implica que hi ha angles interiors al mateix costat de la transversal que són inferiors a dos angles rectes, contradient el cinquè postulat. La proposició continua afirmant que en una transversal de dues línies paral·leles, els angles corresponents són congruents i els angles interiors del mateix costat són iguals a dos angles rectes. Aquestes declaracions segueixen de la mateixa manera que la Prop. 28 segueix des de la Prop. 27.

La prova d’Euclides fa ús essencial del cinquè postulat, però, en canvi, els tractaments moderns d’ús de geometria Playfair . Per demostrar la proposició 29 assumint l’axioma de Playfair, deixeu que un transversal creui dues línies paral·leles i suposeu que els angles interiors alternatius no són iguals. Dibuixa una tercera línia pel punt en què el transversal creua la primera línia, però amb un angle igual a l’angle que fa el transversal amb la segona línia. Això produeix dues línies diferents a través d’un punt, ambdues paral·leles a una altra línia, contradient l’axioma.

En espais dimensionals més alts, una línia que s’entrecreua cadascun d’un conjunt de línies en punts diferents és una transversal d’aquest conjunt de línies. A diferència del cas bidimensional (pla), no es garanteix que els transversals existeixin per a conjunts de més de dues línies. A l'Euclidean 3-Space, un regulaus és un conjunt de línies de inclinades , r, de manera que a través de cada punt de cada línia de R, passa un transversal de R i a través de Cada punt d’una transversal de R hi passa una línia de R. El conjunt de transversals d’un reglus r també és un regul, anomenat regul de R °. En aquest espai, tres línies mútuament inclinades sempre es poden estendre a un reglus.

• Punt
• Vèrtex

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).