Transzverzális Meghatározás

A transzverzális 8 szöget hoz létre, amint azt a fenti grafikon látható:

• 4 A két sor mindegyikével, nevezetesen α, β, γ és δ és akkor α ₁ , β _{1 , γ 1 és δ 1 1 1 1 < /sub>; és}

• Amelyek közül 4 belső (a két sor között), nevezetesen α, β ;, γ _{1 és δ 1 és 4 amelyek közül a külső, nevezetesen α 1 , β 1 , γ és δ.}

Egy keresztirányú, amely két párhuzamos vonalat vág derékszögű -nak, merőleges transzverzálisnak nevezzük. Ebben az esetben mind a 8 szög derékszögű. Ha a vonalak párhuzamosak, egy olyan eset, amelyet gyakran figyelembe vesznek, a keresztirányú transzverzális több kongruent és több kiegészítő szöget eredményez . Ezen szögpárok némelyikének speciális neve van, és az alábbiakban tárgyaljuk:

Alternatív szögek

Egy pár alternatív szög. Párhuzamos vonalakkal kongruensek.

Az alternatív szögek a négy szögpár, amelyek:

• Have distinct vertex points,

• Feküdjön a keresztirányú és

• Mindkét szög belső, vagy mindkét szög külső.

Ha az egyik pár két szöge kongruens, akkor a többi pár szöge is kongruens. Az abszolút geometria tétele (ennélfogva érvényes mind a hiperbolikus , mind a euklidean geometria -ben), bebizonyítja, hogy ha a transzverzális alternatív szögek szögei kongruensek, akkor a két sor a két vonal párhuzamosak (nem keresztező). Euklid párhuzamos posztulátumából következik, hogy ha a két vonal párhuzamos, akkor a transzverzális alternatív szögek szöge megegyezik.

Megfelelő szögek

Egy pár megfelelő szög. Párhuzamos vonalakkal kongruensek.

A megfelelő szögek a négy szögpár, amelyek:

• Megkülönböztetett csúcspontjaik vannak,

• Feküdjön a transzverzális ugyanazon oldalán és

• Az egyik szög a belső, a másik pedig a külső.

Két vonal párhuzamos, ha és csak akkor, ha bármely transzverzál megfelelő szögének két szöge megegyezik. A abszolút geometria tétele (tehát érvényes mind a hiperbolikus, mind az euklidei geometria esetében), bizonyítja, hogy ha a transzverzális megfelelő szögek szögei kongruensek, akkor a két sor párhuzamos (nem interszekciós) - Az Euclid párhuzamos posztulátumából következik, hogy ha a két vonal párhuzamos, akkor a transzverzális megfelelő szögek szögei egybeesnek. Ha az egyik pár megfelelő szög szöge megegyezik, akkor a többi pár szöge is kongruens. Az ezen az oldalon található párhuzamos vonalakkal rendelkező különféle képekben a megfelelő szögpárok: α = α ₁ , β = β ₁ , γ = γ ₁ és δ = δ ₁ .

Egymást követő belső szögek

Egy pár egymást követő szög. Párhuzamos vonalakkal két derékszöget adnak.

Az egymást követő belső szögek a két szögpárok, amelyek:

• Megkülönböztetett csúcspontjaik vannak,

• Feküdjön a transzverzális ugyanazon oldalán és

• Mindkettő belső.

Két vonal párhuzamos, ha és csak akkor, ha bármely transzverzális egymást követő belső szög két szöge kiegészítő (összeg 180 °). Az abszolút geometria tétele (tehát érvényes mind a hiperbolikus, mind az euklideai geometria esetében) bizonyítja, hogy ha egy egymást követő belső szögek szögei kiegészítik, akkor a két vonal párhuzamos (nem interszekció). Euklid párhuzamos posztulátumából következik, hogy ha a két vonal párhuzamos, akkor a keresztirányú egymást követő belső szögek szögei kiegészítik. Ha az egyik pár egymást követő belső szög kiegészítő, akkor a másik pár kiegészítő.

Ha a háromszögben háromszöget háromszöget képeznek, ezután egy keresztirányban vágják le, akkor a hat eredményes szegmens hossza kielégíti a Menelaus tételét .

Az Euklid párhuzamos posztulátumának megfogalmazása meg lehet határozni egy keresztirányú. Pontosabban, ha a transzverzális azonos oldalán lévő belső szögek kevesebb, mint két derékszög, akkor a vonalaknak keresztezniük kell. Valójában az Euclid ugyanazt a kifejezést használja a görög nyelven, amelyet általában transzverzálisnak fordítanak.

Euklid 27. javaslata azt állítja, hogy ha egy keresztirányú keresztirányú két sort keresztez, úgy, hogy az alternatív belső szögek kongruensek legyenek, akkor a vonalak párhuzamosak. Az Euclid ezt ellentmondással bizonyítja: ha a vonalak nem párhuzamosak, akkor keresztezniük kell, és háromszöget kell kialakítani. Ezután az egyik alternatív szög egy külső szög, amely megegyezik a másik szöggel, amely a háromszög ellentétes belső szöge. Ez ellentmond a 16. javaslatnak, amely kimondja, hogy a háromszög külső szöge mindig nagyobb, mint az ellenkező belső szögek.

Euklid 28. javaslata kétféle módon kiterjeszti ezt az eredményt. Először: ha egy transzverzális két sort keresztez, úgy, hogy a megfelelő szögek megegyeznek, akkor a vonalak párhuzamosak. Másodszor, ha egy transzverzális két sort keresztez, úgy, hogy a transzverzál azonos oldalán lévő belső szögek kiegészítők legyenek, akkor a vonalak párhuzamosak. Ezek az előző javaslatból következnek be azzal, hogy alkalmazzák azt a tényt, hogy a keresztező vonalak ellenkező szögei egyenlőek, és hogy a vonal szomszédos szögei kiegészítik. Amint azt Proclus megjegyezte, az Euclid a párhuzamos vonalak esetében a lehetséges hat ilyen kritérium közül csak háromat ad.

Euclid 29 javaslata az előző kettővel való beszélgetés. Először, ha egy keresztirányú keresztirányú két párhuzamos vonalat keresztez, akkor az alternatív belső szögek kongruensek. Ha nem, akkor az egyik nagyobb, mint a másik, ami azt jelenti, hogy a kiegészítője kevesebb, mint a másik szög kiegészítője. Ez azt jelenti, hogy a transzverzál ugyanazon oldalán vannak belső szögek, amelyek kevesebb, mint két derékszög, ellentmondva az ötödik posztulátumnak. A javaslat folytatódik azzal, hogy kijelenti, hogy két párhuzamos vonal keresztirányban a megfelelő szögek kongruensek, és az ugyanazon oldalon lévő belső szögek megegyeznek két derékszöggel. Ezek az állítások ugyanúgy követik, mint a 28. prop. 27. prop.

Euclid bizonyítéka alapvető fontosságú az ötödik posztulátum használatával, a geometria modern kezelései azonban a playfair Axiom használatát használják. A 29. javaslat bizonyításához, ha feltételezzük, hogy a Playfair axiómája, hagyja át a keresztirányú két párhuzamos vonalat, és tegye fel, hogy az alternatív belső szögek nem azonosak. Rajzoljon egy harmadik sort azon a ponton, ahol a transzverzális keresztezi az első sort, de a keresztirányú szöggel megegyező szöggel. Ez két különböző vonalat hoz létre egy ponton keresztül, mindkettő párhuzamosan egy másik vonallal, ellentmondva az axiómának.

A magasabb dimenziós terekben egy olyan vonal, amely a vonalkészleteket különálló pontokban keresztezi, a vonalkészlet keresztirányú. A kétdimenziós (sík) tokkal ellentétben a keresztirányú anyagok nem garantáltak, hogy több mint két sorban létezjenek. Az euklideai 3-Space-ban a regulus a Skew Lines , r halmaza, oly módon, hogy az R minden egyes pontján az R keresztirányú R-es és áthalad. Az R keresztirányú pontok minden pontja áthalad egy R. vonalon. Az R regulus transzverzálkészlete szintén egy regulus, az úgynevezett R ° ellenkező regulus. Ebben a térben három kölcsönösen ferde vonal mindig kiterjeszthető egy regulusra.

• Pont
• Csúcs

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).