Skersinis Apibrėžimas

Skersinis sukuria 8 kampus, kaip parodyta aukščiau esančioje grafike:

• 4 su kiekviena iš dviejų eilučių, būtent α, β, γ ir δ ir tada α 1 , β 1 , γ 1 ir δ 1 << 1 <<; ir

• 4 iš jų yra interjeras (tarp dviejų eilučių), būtent α, β, γ 1 ir δ 1 ir 4 iš kurių yra išorė, būtent α 1 , β 1 , γ ir δ.

Skersinis, supjaustantis dvi lygiagrečias linijas stačiu kampu , yra vadinamas A statmenu skersiniu. Tokiu atveju visi 8 kampai yra stačiakampiai. Kai linijos yra lygiagrečios, dažnai atsižvelgiama į atvejį, skersinis sukuria keletą convent ir kelis papildomus kampus . Kai kurios iš šių kampų porų turi konkrečius pavadinimus ir aptariamos žemiau:

Alternatyvūs kampai

Viena pora pakaitinių kampų. Su lygiagrečiomis linijomis jos yra suderintos.

Alternatyvūs kampai yra keturios kampų poros, kurios:

• Have distinct vertex points,

• Gulėti priešingose ​​skersinio pusėse ir

• Abu kampai yra vidiniai arba abu kampai yra išorės.

Jei du vienos poros kampai yra suderinti, tada kiekvienos kitos poros kampai taip pat yra suderinti. Absoliučios geometrijos teorema (taigi galioja abiejuose hiperboliniuose ir euklido geometrijoje ), įrodo, kad jei kenksmingų skersinio kampų poros kampai yra suderinti, tada abi eilutės yra suderintos su dviem eilutėmis yra lygiagrečiai (nesikišantys). Iš Euklido lygiagrečios postulato išplaukia, kad jei abi linijos yra lygiagrečios, tada suderinamos pakaitinių skersinio kampų kampai.

Atitinkami kampai

Viena atitinkamų kampų pora. Su lygiagrečiomis linijomis jos yra suderintos.

Atitinkami kampai yra keturios kampų poros, kurios:

• Turi išskirtinius viršūnių taškus,

• Gulėti toje pačioje skersinio pusėje ir

• Vienas kampas yra interjeras, o kitas yra išorė.

Dvi linijos yra lygiagrečios, jei ir tik tada, kai du bet kurios atitinkamos skersinio kampų poros kampai yra suderinti. absoliučios geometrijos teorema (taigi galioja tiek hiperbolinėje, tiek Euklido geometrijoje), įrodo, kad jei atitinkamų skersinio kampų poros kampai yra suderinami, tada abi linijos yra lygiagrečios (nesikreipiant)). . Iš Euklido lygiagrečios postulato išplaukia, kad jei abi linijos yra lygiagrečios, tada suderinamos atitinkamų skersinio kampų kampai. Jei vienos atitinkamų kampų poros kampai yra suderinti, tada kiekvienos kitos poros kampai taip pat yra suderinti. Įvairiuose vaizduose su lygiagrečiomis linijomis šiame puslapyje atitinkamos kampo poros yra: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 ir δ = δ 1 .

Iš eilės vidaus kampai

Viena pora iš eilės kampų. Esant lygiagrečioms linijoms, jie prideda iki dviejų stačiakampių.

Iš eilės vidiniai kampai yra dvi kampų poros, kurios:

• Turi išskirtinius viršūnių taškus,

• Gulėti toje pačioje skersinio pusėje ir

• Yra abu interjerai.

Dvi linijos yra lygiagrečios, jei ir tik tada, kai du bet kurios skersinio vidaus kampų poros kampai yra papildomi (suma iki 180 °). Absoliučios geometrijos teorema (taigi galioja tiek hiperbolinėje, tiek Euklidų geometrijoje), įrodo, kad jei papildomi iš eilės einančių vidinių kampų kampai yra papildomi, tada abi linijos yra lygiagrečios (nesikeičia). Iš Euklido lygiagrečios postulato išplaukia, kad jei abi linijos yra lygiagrečios, tada papildomi poros iš eilės vidinių kampų kampai yra papildomi. Jei viena pora iš eilės yra papildoma, kita pora taip pat papildo.

Jei trys bendrosios padėties eilutės sudaro trikampį, tada pjaustomos skersiniais, šešių gautų segmentų ilgis patenkina Menelaus's teoremą .

Euclido lygiagrečios postulato formuluotė gali būti išdėstyta skersiniais. Tiksliau, jei vidaus kampai toje pačioje skersinio pusėje yra mažiau nei du stačiakampiai kampai, tada linijos turi susikertėti. Tiesą sakant, Euklidas graikų kalba naudoja tą pačią frazę, kuri paprastai išverčiama kaip skersinis.

Euclido 27 pasiūlyme teigiama, kad jei skersinis kerta dvi linijas taip, kad pakaitiniai vidiniai kampai būtų suderinti, tada linijos yra lygiagrečios. Euclidas tai įrodo prieštaravimu: jei linijos nėra lygiagrečios, tada jos turi susikerta ir susidaro trikampis. Tada vienas iš pakaitinių kampų yra išorinis kampas, lygus kitam kampui, kuris yra priešingas trikampio vidinis kampas. Tai prieštarauja 16 teiginiui, kuriame teigiama, kad išorinis trikampio kampas visada yra didesnis nei priešingi vidiniai kampai.

Euklido pasiūlymas 28 praplečia šį rezultatą dviem būdais. Pirma, jei skersinis kerta dvi linijas taip, kad atitinkami kampai būtų suderinti, tada linijos yra lygiagrečios. Antra, jei skersinis kerta dvi linijas taip, kad vidiniai kampai toje pačioje skersinio pusėje yra papildomi, tada linijos yra lygiagrečios. Tai atitinka ankstesnį teiginį, pritaikant faktą, kad priešingi susikertančių linijų kampai yra lygūs ir kad gretimi linijos kampai yra papildomi. Kaip pažymėjo „Proclus“, „Euclid“ pateikia tik tris iš šešių tokių lygiagrečių linijų kriterijų.

Euklido pasiūlymas 29 yra pokalbis su ankstesniais dviem. Pirma, jei skersinis kerta dvi lygiagrečias linijas, tada pakaitiniai vidaus kampai yra suderinti. Jei ne, tada vienas yra didesnis už kitą, o tai reiškia, kad jo priedas yra mažesnis už kito kampo papildą. Tai reiškia, kad toje pačioje skersinio pusėje yra vidinių kampų, kurie yra mažiau nei du stačiakampiai, prieštaraujantys penktame postulate. Šis teiginys tęsiasi teigdamas, kad ant dviejų lygiagrečių linijų skersinio atitinkami kampai yra suderinti, o vidaus kampai toje pačioje pusėje yra lygūs dviem stačiakampiams. Šie teiginiai pateikiami taip pat, kaip 28 „Prop. 28“ iš PROP. 27.

„Euclid“ įrodyme esmę galima naudoti penktąjį postulatą, tačiau šiuolaikišką geometrijos naudojimo gydymą vietoj to. Norėdami įrodyti 29 teiginį, darant prielaidą, kad „PlayFair“ aksioma, leiskite skersiniams kirsti dvi lygiagrečias linijas ir tarkime, kad alternatyvūs vidaus kampai nėra vienodi. Nubrėžkite trečiąją eilutę per tašką, kur skersinis kerta pirmąją eilutę, tačiau kampu lygus kampui, kurį skersinis daro su antrąja linija. Tai sukuria dvi skirtingas linijas taške, abi lygiagrečiai kitai linijai, prieštaraujant aksiomai.

Aukštesnėse matmenų erdvėse linija, kertanti kiekvieną linijų rinkinį skirtinguose taškuose, yra tos linijų rinkinio skersinis. Skirtingai nuo dvimatį (plokštumos) atvejį, nėra garantuojama, kad translyčiai egzistuos daugiau nei dviem linijomis. Euklidean 3 erdvėje a regulus yra iškrypimo linijų , r, toks, kad per kiekvieną r tašką R, praeina R ir per skersinį r ir per Kiekvienas R skersinio taškas praeina R. Regulus R skersinių rinkinių linija taip pat yra regulus, vadinamas priešingu regulu, r °. Šioje erdvėje trys abipusiai iškreiptos linijos visada gali būti išplėstos iki regulo.

• Taškas
• Vertex

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).