Transversal Skilgreining

Transversal framleiðir 8 sjónarhorn, eins og sýnt er á línuritinu hér að ofan:

• 4 með hverri af línunum tveimur, nefnilega α ;, β ;, γ og δ og síðan α _{1 , β 1 , γ 1 og δ 1 < /sub>; Og}

• 4 þeirra eru innréttingar (á milli línanna tveggja), nefnilega α ;, β ;, γ _{1 og δ 1 og 4 þar af eru að utan, nefnilega α 1 , β 1 , γ og δ}

Þvermál sem sker tvær samsíða línur við hægri horn er kallað hornrétt þversum. Í þessu tilfelli eru allir 8 hornin rétt. Þegar línurnar eru samsíða, mál sem oft er talið, framleiðir þvermál nokkra congruent og nokkrir viðbótarhorn . Sum þessara hornpara hafa sérstök nöfn og er fjallað um hér að neðan:

Varanleg horn

Eitt par af öðrum sjónarhornum. Með samsíða línum eru þær samfelldar.

Varnarhorn eru fjögur pör af sjónarhornum sem:

• Have distinct vertex points,

• Liggja á gagnstæðum hliðum á þversum og

• Báðir sjónarhornin eru að innan eða báðir hornin eru að utan.

Ef hornin tvö í einu pari eru samfelld, þá eru horn hvers hinna para einnig samhliða. Setning á algerri rúmfræði (þess vegna gild í bæði ofurbolískri og Euclidean Geometry ), sannar að ef sjónarhorn par af öðrum sjónarhornum í þvermál eru samhliða þá tvær línur eru samsíða (ekki ná í). Það fylgir samsíða Euclid, að ef línurnar tvær eru samsíða, þá eru hornin á par af öðrum sjónarhornum þversum samsvarandi.

Samsvarandi horn

Eitt par af samsvarandi sjónarhornum. Með samsíða línum eru þær samfelldar.

Samsvarandi horn eru fjögur pör af sjónarhornum sem:

• Hafa sérstaka hornpunkta,

• Liggja á sömu hlið þverslána og

• Einn hornið er innrétting og hin að utan.

Tvær línur eru samsíða ef og aðeins ef tvö sjónarhorn hvers pars af samsvarandi sjónarhornum í einhverjum þversum eru samfelld. Setning á algerri rúmfræði (þess vegna gildir bæði í ofgnótt og evrópskum rúmfræði), sannar að ef hornin í pari af samsvarandi sjónarhornum í þversum eru samfelld, þá eru línurnar tvær samsíða (ekki beinast) . Það fylgir samsíða Euclid að ef línurnar tvær eru samsíða, þá eru sjónarhorn par af samsvarandi sjónarhornum í þversum samsvarandi. Ef hornin í einu pari af samsvarandi sjónarhornum eru samhliða, þá eru horn hvers hinna para einnig samhliða. Í hinum ýmsu myndum með samsíða línum á þessari síðu eru samsvarandi hornpör: α = α _{1 , β = β 1 , γ = γ 1 og δ = δ 1 .}

Í röð innanhúss

Eitt par af sjónarhornum í röð. Með samsíða línum bæta þeir við tveimur réttum sjónarhornum.

Samfelld innri horn eru tvö pör af sjónarhornum sem:

• Hafa sérstaka hornpunkta,

• Liggja á sömu hlið þverslána og

• Eru báðir innréttingar.

Tvær línur eru samsíða ef og aðeins ef hornin tvö í par af samfelldum innri sjónarhornum í einhverjum þversum eru viðbótar (summa til 180 °). Setning á algerri rúmfræði (þess vegna gildir bæði í ofbeldis- og evrópskum rúmfræði), sannar að ef hornin í par af innréttingum í röð eru viðbótar þá eru línurnar tvær samsíða (ekki greining). Það fylgir samhliða Poallel Euclid að ef línurnar tvær eru samsíða, þá eru sjónarhorn par af innréttingarhornum í þversum viðbót. Ef eitt par af innréttingum í röð er viðbót er hin parið einnig viðbót.

Ef þrjár línur í almennri stöðu mynda þríhyrning er síðan skorið með þversum, fullnægja lengd sex hlutanna sem myndast Menelaus setningu .

Mótun Euclids á samsíða stöðvun má fullyrða með tilliti til þversals. Nánar tiltekið, ef innréttingarnar á sömu hlið þversum eru innan við tvö rétt horn, verða línur að skerast. Reyndar notar Euclid sömu setningu á grísku og venjulega er þýtt sem þversum.

Í tillögu Euclids 27 segir að ef þverbrot sker sig tvær línur þannig að skiptir innanhússhornar séu samfelldar, þá eru línurnar samsíða. Euclid sannar þetta með mótsögn: Ef línurnar eru ekki samsíða verða þær að skerast og þríhyrningur myndast. Síðan er einn af varahornunum ytri horn sem er jafnt og annað hornið sem er gagnstætt innri horn í þríhyrningnum. Þetta stangast á við tillögu 16 þar sem segir að ytri horn þríhyrnings sé alltaf meiri en gagnstæða innri horn.

Tillaga Euclid 28 nær þessari niðurstöðu á tvo vegu. Í fyrsta lagi, ef þvermál sker saman tvær línur þannig að samsvarandi sjónarhorn eru samhliða, þá eru línurnar samsíða. Í öðru lagi, ef þversum sker saman tvær línur þannig að innri horn á sömu hlið þverslímans eru viðbótar, þá eru línurnar samsíða. Þessir fylgja frá fyrri tillögu með því að beita þeirri staðreynd að gagnstæðar horn skerandi línur eru jafnar og að aðliggjandi horn á línu eru viðbót. Eins og fram kemur í Proclus gefur Euclid aðeins þrjú af mögulegum sex slíkum viðmiðum fyrir samhliða línur.

Tillaga Euclids 29 er samtal við fyrri tvö. Í fyrsta lagi, ef þvermál sker saman tvær samsíða línur, þá eru varahornin samhliða. Ef ekki, þá er annar meiri en hinn, sem felur í sér að viðbót þess er minni en viðbót hins hornsins. Þetta felur í sér að það eru innréttingarhorn á sömu hlið þversum sem eru innan við tvö rétt horn, sem stangast á við fimmta póstinn. Tillagan heldur áfram með því að fullyrða að á þvermál af tveimur samsíða línum eru samsvarandi sjónarhorn samhliða og innri hornin á sömu hlið eru jöfn tveimur hægri sjónarhornum. Þessar fullyrðingar fylgja á sama hátt og að prop. 28 fylgir frá Prop. 27.

Sönnun Euclid notar nauðsynlega fimmta póstinn, en nútíma meðferðir við rúmfræði notkun playfair's axiom í staðinn. Til að sanna tillögu 29 miðað við axiom Playfair, láttu þversum fara yfir tvær samsíða línur og gera ráð fyrir að varahornin séu ekki jöfn. Teiknaðu þriðju línuna í gegnum punktinn þar sem þverslípur fer yfir fyrstu línuna, en með horn sem er jafnt og hornið gerir þvermál með annarri línunni. Þetta framleiðir tvær mismunandi línur í gegnum punkt, bæði samsíða annarri línu, sem stangast á við axiom.

Í hærri víddarrýmum er lína sem sker hvert sett af línum á mismunandi stöðum þvermál af því línum. Ólíkt tvívíddar (plan) málinu er ekki tryggt að þversum sé til fyrir fleiri en tvær línur. Í Euclidean 3-Space er A Regulus sett af skew línum , r, þannig að í gegnum hver Hver punktur þversal R fer framhjá línu af R. Set af þversum regulus r er einnig regulus, kallað hið gagnstæða regulus, r °. Í þessu rými er alltaf hægt að víkka út þrjár skekkjulínur til regulus.

• Punktur
• Hornpunkt

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).