Ngang Sự định nghĩa

Một ngang tạo ra 8 góc, như thể hiện trong biểu đồ trên:

• 4 với mỗi trong hai dòng, cụ thể là α ;, β ;, γ và δ và sau đó α /phụ>; Và

• 4 trong số đó là nội thất (giữa hai dòng), cụ thể là α ;, β ;, γ trong đó là bên ngoài, cụ thể là α và δ ;.

Một đường ngang cắt hai đường thẳng song song ở góc vuông được gọi là vuông góc ngang. Trong trường hợp này, tất cả 8 góc là góc đúng. Khi các dòng song song, một trường hợp thường được xem xét, một đường ngang tạo ra một số đồng dạng và một số góc bổ sung . Một số cặp góc này có tên cụ thể và được thảo luận dưới đây:

Góc thay thế

Một cặp góc thay thế. Với các đường song song, chúng phù hợp.

Góc thay thế là bốn cặp góc:

• Have distinct vertex points,

• Nằm ở phía đối diện của đường ngang và

• Cả hai góc là bên trong hoặc cả hai góc là bên ngoài.

Nếu hai góc của một cặp đồng dạng, thì các góc của mỗi cặp khác cũng phù hợp. Một định lý về hình học tuyệt đối (do đó có giá trị trong cả hai hyperbol và hình học Euclide ) là song song (không giao thoa). Nó xuất phát từ định đề song song của Euclid rằng nếu hai đường thẳng song song, thì các góc của một cặp góc thay thế của một đường ngang là phù hợp.

Góc tương ứng

Một cặp góc tương ứng. Với các đường song song, chúng phù hợp.

Góc tương ứng là bốn cặp góc:

• Có điểm đỉnh riêng biệt,

• Nằm ở cùng một phía của đường ngang và

• Một góc là bên trong và góc kia là bên ngoài.

Hai dòng song song khi và chỉ khi hai góc của bất kỳ cặp góc tương ứng nào của bất kỳ đường ngang nào cũng phù hợp. Một định lý của hình học tuyệt đối (do đó có giá trị trong cả hình học hyperbol và Euclide), hãy chứng minh rằng nếu các góc của một cặp góc tương ứng của một đường ngang thì hai dòng là song song (không giao diện) . Nó xuất phát từ định đề song song của Euclid rằng nếu hai đường thẳng song song, thì các góc của một cặp góc tương ứng của một đường ngang là phù hợp. Nếu các góc của một cặp góc tương ứng là đồng dạng, thì các góc của mỗi cặp khác cũng phù hợp. Trong các hình ảnh khác nhau với các đường song song trên trang này, các cặp góc tương ứng là: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 và δ = δ 1 .

Góc nội thất liên tiếp

Một cặp góc liên tiếp. Với các đường song song, chúng thêm tối đa hai góc vuông.

Góc bên trong liên tiếp là hai cặp góc:

• Có điểm đỉnh riêng biệt,

• Nằm ở cùng một phía của đường ngang và

• Là cả hai nội thất.

Hai dòng song song khi và chỉ khi hai góc của bất kỳ cặp góc nào liên tiếp của bất kỳ đường ngang nào là bổ sung (tổng đến 180 °). Một định lý về hình học tuyệt đối (do đó có giá trị trong cả hình học hyperbol và Euclide), chứng minh rằng nếu các góc của một cặp góc bên trong liên tiếp là bổ sung thì hai dòng là song song (không giao thoa). Nó xuất phát từ định đề song song của Euclid rằng nếu hai dòng song song, thì các góc của một cặp góc bên trong liên tiếp của một đường ngang là bổ sung. Nếu một cặp góc bên trong liên tiếp là bổ sung, cặp kia cũng là bổ sung.

Nếu ba dòng trong vị trí chung tạo thành một tam giác thì sau đó được cắt bởi một đường ngang, độ dài của sáu phân đoạn kết quả thỏa mãn định lý của Menelaus .

Công thức của Euclid về định đề song song có thể được nêu dưới dạng một đường ngang. Cụ thể, nếu các góc bên trong cùng một phía của đường ngang nhỏ hơn hai góc vuông thì các đường phải giao nhau. Trên thực tế, Euclid sử dụng cùng một cụm từ trong tiếng Hy Lạp thường được dịch là ngang.

Đề xuất 27 của Euclid nói rằng nếu một giao cắt ngang hai dòng để các góc bên trong xen kẽ là đồng dạng, thì các đường thẳng song song. Euclid chứng minh điều này bằng mâu thuẫn: nếu các đường không song song thì chúng phải giao nhau và một tam giác được hình thành. Sau đó, một trong các góc thay thế là một góc bên ngoài bằng với góc khác là góc bên trong đối diện trong tam giác. Điều này mâu thuẫn với mệnh đề 16 trong đó nói rằng một góc bên ngoài của một tam giác luôn lớn hơn các góc bên trong đối diện.

Đề xuất 28 của Euclid mở rộng kết quả này theo hai cách. Đầu tiên, nếu một đường ngang giao nhau hai dòng để các góc tương ứng đồng dạng, thì các đường thẳng song song. Thứ hai, nếu một đường ngang giao nhau hai dòng sao cho các góc bên trong cùng phía của đường ngang là bổ sung, thì các đường là song song. Những điều này theo các mệnh đề trước đây bằng cách áp dụng thực tế là các góc đối diện của các đường giao nhau là bằng nhau và các góc liền kề trên một dòng là bổ sung. Theo ghi nhận của Proclus, Euclid chỉ đưa ra ba trong số sáu tiêu chí có thể như vậy cho các đường song song.

Đề xuất 29 của Euclid là một điều ngược lại với hai người trước đó. Đầu tiên, nếu một đường ngang giao với hai đường song song, thì các góc bên trong xen kẽ là đồng dạng. Nếu không, thì cái này lớn hơn so với cái kia, ngụ ý bổ sung của nó ít hơn so với bổ sung của góc khác. Điều này ngụ ý rằng có các góc bên trong cùng một phía của đường ngang nhỏ hơn hai góc vuông, mâu thuẫn với định đề thứ năm. Đề xuất tiếp tục bằng cách tuyên bố rằng trên một đường ngang của hai đường song song, các góc tương ứng là đồng dạng và các góc bên trong cùng một phía bằng hai góc vuông. Những tuyên bố này theo cùng một cách mà Dự luật 28 theo sau từ Prop 27.

Bằng chứng của Euclid sử dụng thiết yếu của định đề thứ năm, tuy nhiên, các phương pháp điều trị hiện đại về sử dụng hình học playfair's Axiom thay thế. Để chứng minh Dự luật 29 giả sử tiên đề của Playfair, hãy để một đường ngang qua hai đường song song và giả sử rằng các góc bên trong thay thế không bằng nhau. Vẽ một dòng thứ ba thông qua điểm mà đường ngang qua đường thứ nhất, nhưng với một góc bằng với góc mà đường ngang tạo ra với dòng thứ hai. Điều này tạo ra hai dòng khác nhau thông qua một điểm, cả hai song song với một dòng khác, mâu thuẫn với tiên đề.

Trong các không gian chiều cao hơn, một đường giao nhau giao với từng bộ đường theo các điểm riêng biệt là một sự thay đổi của tập hợp các đường đó. Không giống như trường hợp hai chiều (mặt phẳng), các chuyển đổi không được đảm bảo tồn tại cho các bộ nhiều hơn hai dòng. Trong không gian 3 Euclide, A Regulus là một tập hợp các dòng độ lệch , r, sao cho qua mỗi điểm trên mỗi dòng r, có một đường ngang của r và qua Mỗi điểm của một đường ngang của r ở đó vượt qua một dòng R. Bộ chuyển đổi của một điều chỉnh r cũng là một điều chỉnh, được gọi là điều chỉnh đối diện, r °. Trong không gian này, ba dòng sai lệch lẫn nhau luôn có thể được mở rộng đến một điều chỉnh.

• Điểm
• Đỉnh

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).