مستعرض تعريف

ينتج الخط المستعرض 8 زوايا ، كما هو موضح في الرسم البياني أعلاه:

• مع كل من الخطين ، وهما & # 945 ؛ ، & # 946 ؛ ، & # 947 ؛ و & # 948 ؛ ثم & # 945؛ ₁ و & # 946؛ ₁ و & # 947؛ ₁ و & # 948؛ _{1 < / فرعية> ؛ و}

• 4 منها داخلية (بين السطرين) ، وهي & # 945 ؛ و & # 946 ؛ و & # 947 ؛ ₁ و & # 948 ؛ ₁ و 4 منها خارجية ، وهي & # 945؛ ₁ ، & # 946؛ ₁ ، & # 947؛ و & # 948 ؛.

يُطلق على المستعرض الذي يقطع خطين متوازيين عند الزوايا القائمة اسم المستعرض العمودي المستعرض. في هذه الحالة ، جميع الزوايا الثمانية هي زوايا قائمة. عندما تكون الخطوط متوازية ، وهي حالة يتم أخذها في الاعتبار غالبًا ، ينتج عن المستعرض عدة متطابقة و زوايا إضافية . بعض أزواج الزوايا هذه لها أسماء محددة وتتم مناقشتها أدناه:

زوايا بديلة

زوج واحد من الزوايا المتناوبة. مع خطوط متوازية ، فهي متطابقة.

الزوايا البديلة هي أربعة أزواج من الزوايا:

• Have distinct vertex points,

• الاستلقاء على جانبي المستعرض و

• كلتا الزاويتين داخلية أو كلاهما خارجي.

إذا كانت زاويتا أحد الزوجين متطابقتين ، فإن زاويتين كل زوج من الأزواج الأخرى متطابقة أيضًا. نظرية الهندسة المطلقة (ومن ثم فهي صالحة في كل من الزائدية و الهندسة الإقليدية ) ، تثبت أنه إذا كانت زوايا زوج من الزوايا البديلة للعرض المستعرض متطابقة ، فإن الخطين متوازية (غير متقاطعة). ويترتب على افتراض إقليدس المتوازي أنه إذا كان الخطان متوازيان ، فإن زوايا زوج من الزوايا المتناوبة في المستعرض تكون متطابقة.

الزوايا المتوافقة

زوج واحد من الزوايا المتناظرة. مع خطوط متوازية ، فهي متطابقة.

الزوايا المتناظرة هي أربعة أزواج من الزوايا:

• لها نقاط قمة مميزة ،

• الاستلقاء على نفس الجانب من المستعرض و

• إحدى الزوايا داخلية والأخرى خارجية.

خطان متوازيان إذا وفقط إذا كانت زاويتا أي زوج من الزوايا المتناظرة لأي مستعرض متطابقتين. نظرية الهندسة المطلقة (ومن ثم فهي صالحة في كل من الهندسة الزائدية والإقليدية) ، تثبت أنه إذا كانت زوايا زوج من الزوايا المتناظرة للعرض المستعرض متطابقة ، فإن الخطين متوازيان (غير متقاطعين) . ويترتب على افتراض إقليدس المتوازي أنه إذا كان الخطان متوازيان ، فإن زوايا زوج من الزوايا المتناظرة في المستعرض تكون متطابقة. إذا كانت زوايا زوج واحد من الزوايا المتناظرة متطابقة ، فإن زوايا كل زوج من الأزواج الأخرى تكون أيضًا متطابقة. في الصور المختلفة ذات الخطوط المتوازية في هذه الصفحة ، أزواج الزوايا المقابلة هي: & # 945؛ = & # 945 ؛ ₁ ، & # 946 ؛ = & # 946 ؛ ₁ ، & # 947 ؛ = & # 947 ؛ ₁ و & # 948 ؛ = & # 948 ؛ ₁ .

زوايا داخلية متتالية

زوج واحد من الزوايا المتتالية. مع الخطوط المتوازية ، تضيف ما يصل إلى زاويتين قائمتين.

الزوايا الداخلية المتتالية هما زوجا الزوايا:

• لها نقاط قمة مميزة ،

• الاستلقاء على نفس الجانب من المستعرض و

• كلاهما داخلي.

خطان متوازيان إذا وفقط إذا كانت زاويتا أي زوج من الزوايا الداخلية المتتالية لأي مستعرض تكميلية (مجموعها 180 & # 176 ؛). تثبت نظرية الهندسة المطلقة (وبالتالي صالحة في كل من الهندسة الزائدية والإقليدية) أنه إذا كانت زوايا زوج من الزوايا الداخلية المتتالية مكملة ، فإن الخطين متوازيان (غير متقاطعين). ويترتب على افتراض إقليدس المتوازي أنه إذا كان الخطان متوازيان ، فإن زوايا زوج من الزوايا الداخلية المتتالية للقطاع المستعرض تكون تكميلية. إذا كان زوج واحد من الزوايا الداخلية المتتالية مكملًا ، فإن الزوج الآخر يكون مكملًا أيضًا.

إذا كانت ثلاثة أسطر في الوضع العام تشكل مثلثًا ثم تم قطعها بواسطة مستعرض ، فإن أطوال الأجزاء الستة الناتجة تتوافق مع نظرية مينلاوس .

يمكن ذكر صياغة إقليدس للفرضية المتوازية من حيث المستعرض. على وجه التحديد ، إذا كانت الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض أقل من زاويتين قائمتين ، فيجب أن تتقاطع الخطوط. في الواقع ، يستخدم إقليدس العبارة نفسها في اليونانية التي تُترجم عادةً على أنها مستعرضة.

ينص اقتراح إقليدس رقم 27 على أنه إذا تقاطع المستعرض مع سطرين بحيث تكون الزوايا الداخلية البديلة متطابقة ، فإن الخطوط تكون متوازية. يثبت إقليدس ذلك بالتناقض: إذا لم تكن الخطوط متوازية فيجب أن تتقاطع ويتشكل مثلث. ثم إحدى الزاويتين المتبادلتين هي زاوية خارجية تساوي الزاوية الأخرى وهي زاوية داخلية معاكسة في المثلث. هذا يتعارض مع الاقتراح 16 الذي ينص على أن الزاوية الخارجية للمثلث تكون دائمًا أكبر من الزوايا الداخلية المقابلة.

يوسع اقتراح إقليدس 28 هذه النتيجة بطريقتين. أولاً ، إذا تقاطع المستعرض مع خطين بحيث تكون الزوايا المتناظرة متطابقة ، فإن الخطين يكونان متوازيين. ثانيًا ، إذا تقاطع المستعرض مع خطين بحيث تكون الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض مكملة ، فإن الخطوط تكون متوازية. تأتي هذه من الافتراض السابق من خلال تطبيق حقيقة أن الزوايا المتقابلة للخطوط المتقاطعة متساوية وأن الزوايا المجاورة على الخط مكملة. كما لاحظ Proclus ، يقدم إقليدس ثلاثة فقط من ستة معايير ممكنة من هذا القبيل للخطوط المتوازية.

اقتراح إقليدس 29 هو عكس الاثنين السابقين. أولاً ، إذا تقاطع المستعرض مع خطين متوازيين ، فإن الزوايا الداخلية البديلة تكون متطابقة. إذا لم يكن كذلك ، فإن أحدهما أكبر من الآخر ، مما يعني أن ملحقه أقل من مكمل الزاوية الأخرى. هذا يعني أن هناك زوايا داخلية على نفس الجانب من المستعرض وهي أقل من زاويتين قائمتين ، مما يتعارض مع الافتراض الخامس. يستمر الاقتراح بالقول إنه على خط مستعرض لخطين متوازيين ، تكون الزوايا المتناظرة متطابقة والزوايا الداخلية على نفس الجانب تساوي زاويتين قائمتين. وتتبع هذه العبارات بنفس الطريقة التي يتبعها الاقتراح 28 من الاقتراح .27.

يستخدم دليل إقليدس بشكل أساسي الافتراض الخامس ، ومع ذلك ، تستخدم المعالجات الحديثة للهندسة بديهية Playfair بدلاً من ذلك. لإثبات الاقتراح 29 بافتراض بديهية Playfair ، دع المستعرض يعبر خطين متوازيين وافترض أن الزوايا الداخلية البديلة ليست متساوية. ارسم خطًا ثالثًا عبر النقطة التي يتقاطع فيها المستعرض مع الخط الأول ، ولكن بزاوية تساوي الزاوية التي يصنعها المستعرض مع الخط الثاني. ينتج عن هذا خطين مختلفين من خلال نقطة ، كلاهما موازٍ لخط آخر ، بما يتعارض مع البديهية.

في المساحات ذات الأبعاد الأعلى ، يكون الخط الذي يتقاطع مع كل مجموعة من الخطوط في نقاط مميزة هو مستعرض لتلك المجموعة من الخطوط. على عكس العلبة ثنائية الأبعاد (المستوية) ، لا يمكن ضمان وجود المستعرضات لمجموعات من أكثر من سطرين. في Euclidean 3-space ، يمثل regulus مجموعة من خطوط الانحراف ، R ، بحيث يمر من خلال كل نقطة على كل سطر من R ، مستعرض لـ R ومن خلاله كل نقطة من مستعرض R هناك تمر بخط R. مجموعة المستعرضات في Regulus R هي أيضًا Regulus ، تسمى regulus المقابل ، R & # 176 ؛. في هذا الفضاء ، يمكن دائمًا تمديد ثلاثة خطوط منحرفة متبادلة إلى ريجولوس.

• نقطة
• فيرتكس

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).