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Transversal Definición

Un transversal es una línea que pasa a través de dos líneas en el mismo plano a dos puntos . Los transversales desempeñan un papel en el establecimiento de si otras dos líneas en el plano euclidean son paralelo . Las intersecciones de un transversal con dos líneas crean varios tipos de pares de ángulos: ángulos interiores consecutivos , los ángulos correspondientes , y alternativos . Como consecuencia del postulado paralelo de Euclid , si las dos líneas son paralelas, los ángulos interiores consecutivos son suplementario , los ángulos correspondientes son iguales y los ángulos alternativos son iguales. El siguiente diagrama ilustra un transversal.

Ángulos de un transversal

Una transversal produce 8 ángulos, como se muestra en el gráfico de arriba:

  • 4 con cada una de las dos líneas, a saber, α, β, γ, γ y δ y luego α 1 , β 1 , γ 1 y δ 1 < / sub>; y

  • 4 de los cuales son interiores (entre las dos líneas), a saber α, β, γ1 y δ1 y 4 de los cuales son exteriores, a saber α1, β1, γ y δ.

Un transversal que corta dos líneas paralelas en los ángulos de derecha se llama un perpendicular transversal. En este caso, los 8 ángulos son ángulos rectos. Cuando las líneas son paralelas, se considera un caso que a menudo se considera, un transversal produce varios ángulos suplementarios congruentes congruente . Algunos de estos pares de ángulos tienen nombres específicos y se discuten a continuación:

Ángulos alternos

Un par de ángulos alternativos. Con líneas paralelas, son congruentes.

Los ángulos alternos son los cuatro pares de ángulos que:

  • Have distinct vertex points,

  • Acuéstate en lados opuestos de la transversal y

  • Ambos ángulos son interiores o ambos ángulos son exteriores.

Si los dos ángulos de un par son congruentes, entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes. Un teorema de la geometría absoluta (por lo tanto, válida en la geometría de hyperbolic y euclidean ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos alternativos de un transversal son congruentes, las dos líneas son paralelos (no intersectores). Sigue del postulado paralelo de Euclid que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos alternativos de un transversal son congruentes.

Ángulos correspondientes

Un par de ángulos correspondientes. Con líneas paralelas, son congruentes.

Los ángulos correspondientes son los cuatro pares de ángulos que:

  • Tener distintos puntos de vértice,

  • Acuéstate en el mismo lado de la transversal y

  • Un ángulo es interior y el otro es exterior.

Dos líneas son paralelas si y solo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos correspondientes de cualquier transversal son congruentes. Un teorema de absoluta geometría (por lo tanto, válida en geometría hiperbólica y euclidiana), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos correspondientes de un transversal son congruentes, las dos líneas son paralelas (no intersectando) . Sigue del postulado paralelo de Euclid que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos correspondientes de un transversal son congruentes. Si los ángulos de un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes. En las distintas imágenes con líneas paralelas en esta página, los pares de ángulos correspondientes son: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 y δ = δ 1 .

Ángulos de interior consecutivos

Un par de ángulos consecutivos. Con líneas paralelas, se suman a dos ángulos rectos.

Los ángulos internos consecutivos son los dos pares de ángulos que:

  • Tener distintos puntos de vértice,

  • Acuéstate en el mismo lado de la transversal y

  • Son ambos interiores.

Dos líneas son paralelas si y solo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos interiores consecutivos de cualquier transversal son complementarios (suma a 180 y # 176;). Un teorema de la geometría absoluta (por lo tanto, válida en geometría hiperbólica y euclidiana), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos son complementarios, las dos líneas son paralelas (no intersectando). Se deduce del postulado paralelo de Euclid que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos de un transversal son complementarios. Si un par de ángulos interiores consecutivos es complementaria, la otra pareja también es complementaria.

Otras propiedades

Si las tres líneas en posición general forman un triángulo se cortan por un transversal, las longitudes de los seis segmentos resultantes satisfacen el teorema .

Teoremas relacionados

La formulación de Euclid del postulado paralelo se puede indicar en términos de un transversal. Específicamente, si los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son menos de dos ángulos rectos, las líneas deben intersectarse. De hecho, Euclid usa la misma frase en griego que generalmente se traduce como transversal.

La propuesta 27 de Euclides establece que si un transversal se cruza con dos líneas, de modo que los ángulos interiores alternativos sean congruentes, entonces las líneas son paralelas. Euclid demuestra esto por contradicción: si las líneas no son paralelas, entonces deben intersectarse y se forma un triángulo. Luego, uno de los ángulos alternativos es un ángulo exterior igual al otro ángulo que es un ángulo interior opuesto en el triángulo. Esto contradice la Proposición 16, que afirma que un ángulo exterior de un triángulo es siempre mayor que los ángulos interiores opuestos.

La Proposición 28 de Euclides extiende este resultado de dos maneras. Primero, si un transversal intersecta dos líneas para que los ángulos correspondientes sean congruentes, entonces las líneas son paralelas. En segundo lugar, si un transversal se cruza con dos líneas, de modo que los ángulos interiores en el mismo lado de los transversales sean complementarios, entonces las líneas son paralelas. Estos siguen de la propuesta anterior al aplicar el hecho de que los ángulos opuestos de las líneas de intersección son iguales y que los ángulos adyacentes en una línea son complementarios. Como señaló Proclus, Euclid solo ofrece tres de un posible seis criterios de este tipo para líneas paralelas.

La Proposición 29 de Euclid es un conversación a los dos anteriores. Primero, si un transversal intersecta dos líneas paralelas, entonces los ángulos interiores alternativos son congruentes. Si no, entonces uno es mayor que el otro, lo que implica su suplemento es menor que el suplemento del otro ángulo. Esto implica que hay ángulos de interior en el mismo lado de la transversal que son menos de dos ángulos rectos, contradeciendo el quinto postulado. La proposición continúa diciendo que en un transversal de dos líneas paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes y los ángulos interiores en el mismo lado son iguales a dos ángulos rectos. Estas declaraciones siguen de la misma manera que el prop. 28 sigue de la Prop. 27.

La prueba de Euclid hace que el uso esencial del quinto postulado, sin embargo, los tratamientos modernos del uso de la geometría Playfair's Axiom en su lugar. Para probar la proposición 29 asumiendo el axioma de Playfair, deje que una transversal transversal se encuentre dos líneas paralelas y suponga que los ángulos interiores alternativos no son iguales. Dibuja una tercera línea a través del punto donde la transversal cruza la primera línea, pero con un ángulo igual al ángulo que la transversal hace con la segunda línea. Esto produce dos líneas diferentes a través de un punto, ambas paralelas a otra línea, contradeciendo el axioma.

Dimensiones más altas

En espacios dimensionales superiores, una línea que crece cada uno de un conjunto de líneas en puntos distintos es un transversal de ese conjunto de líneas. A diferencia del caso bidimensional (plano), no se garantiza que los transversales existen para conjuntos de más de dos líneas. En Euclidean 3-Space, un regulus es un conjunto de líneas de sesgo , R, tal que a través de cada punto en cada línea de R, pasa un transversal de R y a través de Cada punto de un transversal de R pasa una línea de R. El conjunto de transversales de un Regulus R también es un regulus, llamado Regulus opuesto, R °. En este espacio, tres líneas mutuamente sesgadas siempre se pueden extender a un regulus.

Definiciones relacionadas

Fuentes

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).

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