Εγκάρσιος Ορισμός

Μια εγκάρσια παράγει 8 γωνίες, όπως φαίνεται στο παραπάνω γράφημα:

• 4 με κάθε μία από τις δύο γραμμές, δηλαδή α, β, γ και δ και τότε _{/sub>; και}

• 4 από τα οποία είναι εσωτερικά (μεταξύ των δύο γραμμών), δηλαδή α από τα οποία είναι εξωτερικά, δηλαδή#945; και δ.

Μια εγκάρσια που κόβει δύο παράλληλες γραμμές σε ορθές γωνίες ονομάζεται κάθετο εγκάρσια. Σε αυτή την περίπτωση, και οι 8 γωνίες είναι σωστές γωνίες. Όταν οι γραμμές είναι παράλληλες, μια περίπτωση που συχνά εξετάζεται, μια εγκάρσια παράγει αρκετές συμπαγείς και αρκετές συμπληρωματικές γωνίες . Ορισμένα από αυτά τα ζεύγη γωνίας έχουν συγκεκριμένα ονόματα και συζητούνται παρακάτω:

Προσκειμένη γωνία

Ένα ζευγάρι εναλλακτικών γωνιών. Με παράλληλες γραμμές, είναι σύμφωνες.

Εναλλακτικές γωνίες είναι τα τέσσερα ζευγάρια γωνιών που:

• Have distinct vertex points,

• Ξαπλώστε στις αντίθετες πλευρές της εγκάρσιας και

• Και οι δύο γωνίες είναι εσωτερικές ή και οι δύο γωνίες είναι εξωτερικές.

Εάν οι δύο γωνίες ενός ζεύγους είναι σύμφωνες, τότε οι γωνίες καθενός από τα άλλα ζεύγη είναι επίσης σύμφωνες. Ένα θεώρημα της απόλυτης γεωμετρίας (επομένως ισχύει και στα δύο υπερβολική και Ευκλείδειο γεωμετρία ), αποδεικνύει ότι εάν οι γωνίες ενός ζεύγους εναλλακτικών γωνιών μιας εγκάρσιας είναι σύμφωνες τότε οι δύο γραμμές είναι παράλληλα (μη διακήρυξη). Από το παράλληλο του Euclid προκύπτει ότι εάν οι δύο γραμμές είναι παράλληλες, τότε οι γωνίες ενός ζευγαριού εναλλακτικών γωνιών μιας εγκάρσιας είναι σύμφωνες.

Αντίστοιχες γωνίες

Ένα ζευγάρι αντίστοιχων γωνιών. Με παράλληλες γραμμές, είναι σύμφωνες.

Αντίστοιχες γωνίες είναι τα τέσσερα ζευγάρια γωνιών που:

• Έχουν ξεχωριστά σημεία κορυφής,

• Ξαπλώστε στην ίδια πλευρά του εγκάρσιας και

• Μια γωνία είναι εσωτερική και η άλλη είναι εξωτερική.

Δύο γραμμές είναι παράλληλες εάν και μόνο αν οι δύο γωνίες οποιουδήποτε ζεύγους αντίστοιχων γωνιών οποιασδήποτε εγκάρσιας είναι σύμφωνες. Ένα θεώρημα της Absolute Geometry (επομένως ισχύει τόσο σε υπερβολική όσο και σε ευκλείδειο γεωμετρία), αποδεικνύει ότι εάν οι γωνίες ενός ζεύγους αντίστοιχων γωνιών ενός εγκάρσιου είναι σύμφωνες, τότε οι δύο γραμμές είναι παράλληλες (μη διακοσμητικές) . Από το παράλληλο του Euclid προκύπτει ότι αν οι δύο γραμμές είναι παράλληλες, τότε οι γωνίες ενός ζεύγους αντίστοιχων γωνιών μιας εγκάρσιας είναι σύμφωνες. Εάν οι γωνίες ενός ζεύγους αντίστοιχων γωνιών είναι σύμφωνες, τότε οι γωνίες καθενός από τα άλλα ζεύγη είναι επίσης σύμφωνες. Στις διάφορες εικόνες με παράλληλες γραμμές σε αυτή τη σελίδα, τα αντίστοιχα ζεύγη γωνίας είναι: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 και δ = δ 1 .

Διαδοχικές εσωτερικές γωνίες

Ένα ζευγάρι διαδοχικών γωνιών. Με παράλληλες γραμμές, προσθέτουν έως και δύο ορθές γωνίες.

Οι διαδοχικές εσωτερικές γωνίες είναι τα δύο ζεύγη γωνιών που:

• Έχουν ξεχωριστά σημεία κορυφής,

• Ξαπλώστε στην ίδια πλευρά του εγκάρσιας και

• Είναι και τα δύο εσωτερικά.

Δύο γραμμές είναι παράλληλες εάν και μόνο εάν οι δύο γωνίες οποιουδήποτε ζεύγους διαδοχικών εσωτερικών γωνιών οποιουδήποτε εγκάρσου είναι συμπληρωματικά (ποσό στους 180 °). Ένα θεώρημα απόλυτης γεωμετρίας (επομένως ισχύει τόσο σε υπερβολική όσο και σε ευκλείδειο γεωμετρία), αποδεικνύει ότι εάν οι γωνίες ενός ζεύγους διαδοχικών εσωτερικών γωνιών είναι συμπληρωματικές, τότε οι δύο γραμμές είναι παράλληλες (μη ενισχυτικές). Από το παράλληλο του Euclid προκύπτει ότι εάν οι δύο γραμμές είναι παράλληλες, τότε οι γωνίες ενός ζεύγους διαδοχικών εσωτερικών γωνιών μιας εγκάρσιας είναι συμπληρωματικές. Εάν ένα ζεύγος διαδοχικών εσωτερικών γωνιών είναι συμπληρωματικό, το άλλο ζευγάρι είναι επίσης συμπληρωματικό.

Εάν τρεις γραμμές σε γενική θέση σχηματίζουν ένα τρίγωνο κόπηκαν στη συνέχεια από ένα εγκάρσιο, τα μήκη των έξι που προκύπτουν τμήματα ικανοποιούν το θεώρημα του Menelaus .

Η διατύπωση του Euclid του Parallel Postulate μπορεί να αναφερθεί με βάση μια εγκάρσια. Συγκεκριμένα, εάν οι εσωτερικές γωνίες στην ίδια πλευρά της εγκάρσιας είναι λιγότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε οι γραμμές πρέπει να διασταυρώνονται. Στην πραγματικότητα, το Euclid χρησιμοποιεί την ίδια φράση στα ελληνικά που συνήθως μεταφράζεται ως εγκάρσια.

Η πρόταση του Euclid 27 δηλώνει ότι εάν μια εγκάρσια διασταυρούμενη δύο γραμμές έτσι ώστε οι εναλλακτικές εσωτερικές γωνίες να είναι σύμφωνες, τότε οι γραμμές είναι παράλληλες. Το Euclid αποδεικνύει αυτό με αντίφαση: Εάν οι γραμμές δεν είναι παράλληλες τότε πρέπει να διασταυρωθούν και σχηματίζεται ένα τρίγωνο. Στη συνέχεια, μία από τις εναλλακτικές γωνίες είναι μια εξωτερική γωνία ίση με την άλλη γωνία που είναι μια αντίθετη εσωτερική γωνία στο τρίγωνο. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την πρόταση 16 που δηλώνει ότι μια εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερη από τις αντίθετες εσωτερικές γωνίες.

Η πρόταση του Euclid 28 επεκτείνει αυτό το αποτέλεσμα με δύο τρόπους. Πρώτον, εάν μια εγκάρσια τέμνει δύο γραμμές έτσι ώστε οι αντίστοιχες γωνίες να είναι σύμφωνες, τότε οι γραμμές είναι παράλληλες. Δεύτερον, εάν μια εγκάρσια διασταυρώθηκε δύο γραμμές έτσι ώστε οι εσωτερικές γωνίες στην ίδια πλευρά της εγκάρσιας να είναι συμπληρωματικές, τότε οι γραμμές είναι παράλληλες. Αυτά προκύπτουν από την προηγούμενη πρόταση εφαρμόζοντας το γεγονός ότι οι αντίθετες γωνίες των διασταυρούμενων γραμμών είναι ίσες και ότι οι γειτονικές γωνίες σε μια γραμμή είναι συμπληρωματικές. Όπως σημειώνεται από τον Proclus, το Euclid δίνει μόνο τρία από τα πιθανά έξι τέτοια κριτήρια για παράλληλες γραμμές.

Η πρόταση του Euclid 29 είναι μια συνομιλία με τα προηγούμενα δύο. Πρώτον, εάν μια εγκάρσια τέμνει δύο παράλληλες γραμμές, τότε οι εναλλακτικές εσωτερικές γωνίες είναι σύμφωνες. Εάν όχι, τότε το ένα είναι μεγαλύτερο από το άλλο, πράγμα που σημαίνει ότι το συμπλήρωμα του είναι μικρότερο από το συμπλήρωμα της άλλης γωνίας. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν εσωτερικές γωνίες στην ίδια πλευρά της εγκάρσιας, οι οποίες είναι λιγότερο από δύο ορθές γωνίες, αντιφατικά για το πέμπτο αξίωμα. Η πρόταση συνεχίζεται αναφέροντας ότι σε μια εγκάρσια παράλληλες γραμμές, οι αντίστοιχες γωνίες είναι σύμφωνες και οι εσωτερικές γωνίες στην ίδια πλευρά είναι ίσες με δύο ορθές γωνίες. Αυτές οι δηλώσεις ακολουθούν με τον ίδιο τρόπο που προκύπτει από το Prop. 28.

Η απόδειξη του Euclid κάνει ουσιαστική χρήση του πέμπτου θέματος, ωστόσο, οι σύγχρονες θεραπείες της γεωμετρίας χρησιμοποιούν axiom Playfair . Για να αποδειχθεί η πρόταση 29 υποθέτοντας το αξίωμα του Playfair, αφήστε μια εγκάρσια διασταύρωση δύο παράλληλες γραμμές και υποθέστε ότι οι εναλλακτικές εσωτερικές γωνίες δεν είναι ίσες. Σχεδιάστε μια τρίτη γραμμή μέσα από το σημείο όπου η εγκάρσια διασχίζει την πρώτη γραμμή, αλλά με γωνία ίση με τη γωνία η εγκάρσια κάνει με τη δεύτερη γραμμή. Αυτό παράγει δύο διαφορετικές γραμμές μέσα από ένα σημείο, και τα δύο παράλληλα με μια άλλη γραμμή, αντιφατικά με το αξίωμα.

Σε χώρους υψηλότερης διαστάσεων, μια γραμμή που τέμνει κάθε μία από τις γραμμές σε ξεχωριστά σημεία είναι μια εγκάρσια αυτού του συνόλου γραμμών. Σε αντίθεση με τη δισδιάστατη (επίπεδη) περίπτωση, οι εγκάρσια δεν είναι εγγυημένα ότι υπάρχουν για σύνολα περισσότερων από δύο γραμμών. Στο Euclidean 3-space, ένα regulus είναι ένα σύνολο λοξών γραμμών , έτσι ώστε σε κάθε σημείο σε κάθε γραμμή R, εκεί περνάει μια εγκάρσια r και μέσα Κάθε σημείο μιας εγκάρσιας r εκεί περνάει μια σειρά από R. Το σύνολο των εγκάρσια ενός regulus r είναι επίσης ένα regulus, που ονομάζεται αντίθετος regulus, r °. Σε αυτό το χώρο, τρεις αμοιβαία λοξές γραμμές μπορούν πάντα να επεκταθούν σε ένα regulus.

• Σημείο
• Κορυφή

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).