Enine Tanım

Bir enine, yukarıdaki grafikte gösterildiği gibi 8 açı üretir:

• 4 İki satırın her biri ile, yani α, β ve δ ve sonra α /sub>; Ve

• 4'ü iç mekandır (iki satır arasında), yani α, β bunlardan dışar, yani α ve δ.

sağ açılarında iki paralel çizgiyi kesen bir enine bir dikey enine denir. Bu durumda, 8 açının tümü dik açılardır. Çizgiler paralel olduğunda, sıklıkla dikkate alınan bir durum, bir enine birkaç uyumlu ve birkaç tamamlayıcı açı üretir. Bu açı çiftlerinin bazılarının belirli adları vardır ve aşağıda tartışılmaktadır:

Alternatif açılar

Bir çift alternatif açı. Paralel çizgilerle uyumludurlar.

Alternatif açılar, dört çiftidir.:

• Have distinct vertex points,

• Enine karşı taraflarda yatar ve

• Her iki açı da iç veya her iki açı da dıştır.

Bir çiftin iki açısı uyumlu ise, diğer çiftlerin her birinin açıları da uyumludur. Bir mutlak geometri teoremi (dolayısıyla hem hiperbolik hem de Öklid geometrisinde geçerlidir ), eğer bir enine alternatif açısının açılarının iki satırdan sonra uyumlu olması durumunda paraleldir (etkileşime girmez). Euclid'in paralel varsayımından, iki satır paralelse, bir enine bir çift alternatif açının açılarının uyumlu olduğunu izler.

Karşılık gelen açılar

Bir çift karşılık gelen açı. Paralel çizgilerle uyumludurlar.

Karşılık gelen açılar dört çiftidir.:

• Farklı tepe noktaları var,

• Enine aynı tarafta yat ve

• Bir açı iç, diğeri dıştır.

İki satır paraleldir ve yalnızca herhangi bir enine karşılık gelen herhangi bir çiftin iki açısı uyumlusa. Bir mutlak geometri teoremi (bu nedenle hem hiperbolik hem de öklid geometrisinde geçerlidir), bir enine karşılık gelen açıların açılarının uyumlu olması durumunda iki çizginin paralel olduğunu (etkileşime girmez) kanıtlar . Euclid'in paralel varsayımından, iki satır paralelse, bir enine karşılık gelen açıların açılarının uyumlu olduğunu izler. Bir çift karşılık gelen açının açıları uyumlusa, diğer çiftlerin her birinin açıları da uyumludur. Bu sayfada paralel çizgiler bulunan çeşitli görüntülerde, karşılık gelen açı çiftleri: α = α = β 1 , γ = γ = δ

Ardışık iç açılar

Bir çift ardışık açı. Paralel çizgilerle, en fazla iki dik açı eklerler.

Ardışık iç açılar, iki açı çiftidir.:

• Farklı tepe noktaları var,

• Enine aynı tarafta yat ve

• İkisi de iç.

İki satır paraleldir ve sadece herhangi bir enine herhangi bir çiftin birbirini izleyen iç açısının iki açısı ekse (toplam 180 °). Mutlak geometri teoremi (bu nedenle hem hiperbolik hem de Öklid geometrisinde geçerlidir), bir çift ardışık iç açının açılarının tamamlayıcı olması durumunda iki çizginin paralel (etkileşime girmemesi). Euclid'in paralel varsayımından, iki çizgi paralelse, bir enine bir çift birbirini takip eden iç açıların açılarının tamamlayıcı olduğunu varsayar. Bir çift ardışık iç açı ekse, diğer çift de tamamlayıcıdır.

Genel pozisyonda üç satır bir üçgen oluşturulursa, bir enine kesilirse, elde edilen altı segment uzunlukları Menelaus teoremini tatmin eder.

Euclid'in paralel postula formülasyonu bir enine olarak ifade edilebilir. Özellikle, enine aynı taraftaki iç açılar iki dik açıdan azsa, çizgiler kesişmelidir. Aslında Euclid, Yunanca'da genellikle enine olarak çevrilen aynı ifadeyi kullanır.

Euclid'in önerisi 27, bir enine bir enine iki satır keserse, alternatif iç açıların uyumlu olması durumunda çizgilerin paralel olduğunu belirtir. Öklid bunu çelişkiyle kanıtlar: eğer çizgiler paralel değilse, kesişmeli ve bir üçgen oluşur. Daha sonra alternatif açılardan biri, üçgende zıt bir iç açı olan diğer açıya eşit bir dış açıdır. Bu, bir üçgenin dış açısının her zaman karşı iç açılardan daha büyük olduğunu belirten Teklif 16 ile çelişir.

Euclid'in önerisi 28 bu sonucu iki şekilde genişletir. İlk olarak, bir enine karşılık gelen açıların uyumlu olması için iki satırı keserse, çizgiler paraleldir. İkincisi, bir enine iki çizgiyi keserse, enine aynı taraftaki iç açıların tamamlayıcı olması durumunda, çizgiler paraleldir. Bunlar, kesişen çizgilerin zıt açılarının eşit olduğu ve bir çizgi üzerindeki bitişik açıların ek olduğu gerçeğini uygulayarak önceki öneriyi takip eder. Proclus tarafından belirtildiği gibi, Euclid paralel çizgiler için bu tür altı kriterin sadece üçünü verir.

Euclid'in önerisi 29, önceki ikisine bir sohbettir. İlk olarak, bir enine iki paralel çizgiyi keserse, alternatif iç açılar uyumludur. Değilse, biri diğerinden daha büyüktür, bu da takviyesinin diğer açının takviyesinden daha az olduğunu ima eder. Bu, enine aynı tarafta, beşinci postula ile çelişen iki dik açıdan daha az olan iç açılar olduğu anlamına gelir. Öneri, iki paralel çizginin bir enine şekilde, karşılık gelen açıların uyumlu olduğunu ve aynı taraftaki iç açıların iki dik açıya eşit olduğunu belirterek devam etmektedir. Bu ifadeler, Prop. 28'in Prop. 27'den geldiği gibi izler.

Euclid'in kanıtı, beşinci postula'nın temel kullanımını sağlar, ancak modern geometri tedavileri Playfair'in aksiyomu kullanır. Teklif 29'u kanıtlamak için Playfair'in aksiyomunu varsayarak, bir enine iki paralel çizgiyi geçmesine izin verin ve alternatif iç açıların eşit olmadığını varsayalım. Enine birinci çizgiyi geçtiği noktadan üçüncü bir çizgi çizin, ancak enine ikinci çizgi ile yaptığı açıya eşit bir açı ile. Bu, her ikisi de aksiyomla çelişen başka bir çizgiye paralel bir nokta boyunca iki farklı çizgi üretir.

Daha yüksek boyutlu boşluklarda, farklı noktalardaki bir çizginin her birini kesişen bir çizgi, o satır kümesinin enine. İki boyutlu (düzlem) vakanın aksine, enine iki satırdan fazla setler için var olacağı garanti edilmez. Öklid 3-uzayında, bir regulus , bir eğrilti çizgileri , r, böylece her bir R hattındaki her noktadan, r ve içinden bir enine geçer R'nin enine bir noktası, bir R hattı geçirir. Bir regulus r'in enine seti de zıt regulus, r ° adı verilen bir regülüstür. Bu alanda, karşılıklı olarak üç çarpı çizgisi her zaman bir regülüse genişletilebilir.

• Nokta
• Tepe noktası

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).