ట్రాన్స్వర్సల్ నిర్వచనం

పై గ్రాఫ్‌లో చూపిన విధంగా ట్రాన్స్‌వర్సల్ 8 కోణాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది:

• 4 రెండు పంక్తులతో, α ;, β ;, γ మరియు δ ఆపై α 1 , β 1 , γ 1 మరియు δ 1 < /ఉప>; మరియు

• వీటిలో 4 ఇంటీరియర్ (రెండు పంక్తుల మధ్య), అవి α ;, β γ మరియు#947; వీటిలో బాహ్యమైనవి, అవి α 1 , β 1 , γ మరియు δ ;.

లంబ కోణాలలో రెండు సమాంతర పంక్తులను కత్తిరించే ట్రాన్స్‌వర్సల్‌ను ను <స్పాన్> లంబ ట్రాన్స్వర్సల్ అంటారు. ఈ సందర్భంలో, మొత్తం 8 కోణాలు లంబ కోణాలు. పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు, తరచూ పరిగణించబడే కేసు, ఒక ట్రాన్స్‌వర్సల్ అనేక సమానమైన మరియు అనేక అనుబంధ కోణాలను ను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఈ యాంగిల్ జతలలో కొన్ని నిర్దిష్ట పేర్లను కలిగి ఉన్నాయి మరియు క్రింద చర్చించబడ్డాయి:

ప్రత్యామ్నాయ కోణాలు

ఒక జత ప్రత్యామ్నాయ కోణాలు. సమాంతర రేఖలతో, అవి సమానంగా ఉంటాయి.

ప్రత్యామ్నాయ కోణాలు నాలుగు జతల కోణాలు:

• Have distinct vertex points,

• ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క వ్యతిరేక వైపులా ఉంటుంది మరియు

• రెండు కోణాలు అంతర్గత లేదా రెండు కోణాలు బాహ్యమైనవి.

ఒక జత యొక్క రెండు కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ప్రతి ఇతర జతల కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి. సంపూర్ణ జ్యామితి యొక్క సిద్ధాంతం (అందువల్ల హైపర్బోలిక్ మరియు యూక్లిడియన్ జ్యామితి రెండింటిలోనూ చెల్లుతుంది), ఒక ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఒక జత ప్రత్యామ్నాయ కోణాల కోణాలు సమానంగా ఉంటే రెండు పంక్తులు అని రుజువు చేస్తుంది సమాంతరంగా ఉంటాయి (నాన్-ఖనిజాలు). ఇది యూక్లిడ్ యొక్క సమాంతర పోస్టులేట్ నుండి అనుసరిస్తుంది, రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఒక జత ప్రత్యామ్నాయ కోణాల కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సంబంధిత కోణాలు

సంబంధిత కోణాల యొక్క ఒక జత. సమాంతర రేఖలతో, అవి సమానంగా ఉంటాయి.

సంబంధిత కోణాలు నాలుగు జతల కోణాలు:

• విభిన్న శీర్ష పాయింట్లను కలిగి ఉండండి,

• ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క అదే వైపున పడుకోండి మరియు

• ఒక కోణం ఇంటీరియర్ మరియు మరొకటి బాహ్యంగా ఉంటుంది.

రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు ఏదైనా ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఏదైనా జత కోణాల యొక్క రెండు కోణాలు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే. సంపూర్ణ జ్యామితి యొక్క సిద్ధాంతం (అందువల్ల హైపర్బోలిక్ మరియు యూక్లిడియన్ జ్యామితి రెండింటిలోనూ చెల్లుబాటు అవుతుంది), ఒక విలోమ కోణాల కోణాలు సమానంగా ఉంటే, రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి (కానివారు కానివి) . ఇది యూక్లిడ్ యొక్క సమాంతర పోస్టులేట్ నుండి అనుసరిస్తుంది, రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఒక జత సంబంధిత కోణాల కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఒక జత సంబంధిత కోణాల కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ప్రతి ఇతర జతల కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి. ఈ పేజీలోని సమాంతర పంక్తులతో వివిధ చిత్రాలలో, సంబంధిత కోణ జతలు: α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 మరియు δ = δ 1 .

వరుస అంతర్గత కోణాలు

ఒక జత వరుస కోణాలు. సమాంతర పంక్తులతో, అవి రెండు లంబ కోణాలను జోడిస్తాయి.

వరుస అంతర్గత కోణాలు రెండు జతల కోణాలు:

• విభిన్న శీర్ష పాయింట్లను కలిగి ఉండండి,

• ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క అదే వైపున పడుకోండి మరియు

• రెండూ ఇంటీరియర్.

రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు ఏదైనా ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఏ జత అంతర్గత కోణాల యొక్క రెండు కోణాలు అనుబంధంగా ఉంటే మాత్రమే (మొత్తం 180 °). సంపూర్ణ జ్యామితి యొక్క సిద్ధాంతం (అందువల్ల హైపర్బోలిక్ మరియు యూక్లిడియన్ జ్యామితి రెండింటిలోనూ చెల్లుతుంది), ఒక జత వరుస అంతర్గత కోణాల కోణాలు అనుబంధంగా ఉంటే రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి (అతిగా చేయనివి). ఇది యూక్లిడ్ యొక్క సమాంతర పోస్టులేట్ నుండి అనుసరిస్తుంది, రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క వరుస అంతర్గత కోణాల కోణాలు అనుబంధంగా ఉంటాయి. ఒక జత వరుస అంతర్గత కోణాలు అనుబంధంగా ఉంటే, మరొక జత కూడా అనుబంధంగా ఉంటుంది.

సాధారణ స్థితిలో మూడు పంక్తులు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తే, అప్పుడు ట్రాన్స్వర్సల్ ద్వారా కత్తిరించబడితే, ఫలిత ఆరు విభాగాల పొడవు <స్పాన్> మెనెలాస్ సిద్ధాంతం ను సంతృప్తిపరుస్తుంది.

యూక్లిడ్ యొక్క సమాంతర పోస్టులేట్ యొక్క సూత్రీకరణను ట్రాన్స్వర్సల్ పరంగా పేర్కొనవచ్చు. ప్రత్యేకంగా, ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న అంతర్గత కోణాలు రెండు లంబ కోణాల కన్నా తక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు కలుస్తాయి. వాస్తవానికి, యూక్లిడ్ గ్రీకులో అదే పదబంధాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, దీనిని సాధారణంగా ట్రాన్స్వర్సల్ అని అనువదిస్తారు.

యూక్లిడ్ యొక్క ప్రతిపాదన 27 ఒక ట్రాన్స్వర్సల్ రెండు పంక్తులను కలుస్తే, ప్రత్యామ్నాయ అంతర్గత కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. యూక్లిడ్ దీనిని వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు చేస్తుంది: పంక్తులు సమాంతరంగా లేకపోతే అవి తప్పక కలుస్తాయి మరియు త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది. అప్పుడు ప్రత్యామ్నాయ కోణాల్లో ఒకటి మరొక కోణానికి సమానమైన బాహ్య కోణం, ఇది త్రిభుజంలో వ్యతిరేక అంతర్గత కోణం. ఇది ప్రతిపాదన 16 కి విరుద్ధంగా ఉంది, ఇది త్రిభుజం యొక్క బాహ్య కోణం ఎల్లప్పుడూ వ్యతిరేక అంతర్గత కోణాల కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని పేర్కొంది.

యూక్లిడ్ యొక్క ప్రతిపాదన 28 ఈ ఫలితాన్ని రెండు విధాలుగా విస్తరించింది. మొదట, ఒక ట్రాన్స్వర్సల్ రెండు పంక్తులను కలుస్తే, సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. రెండవది, ట్రాన్స్వర్సల్ రెండు పంక్తులను కలుస్తే, ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న అంతర్గత కోణాలు అనుబంధంగా ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఖండన పంక్తుల వ్యతిరేక కోణాలు సమానమైనవని మరియు ఒక పంక్తిలో ప్రక్కనే ఉన్న కోణాలు అనుబంధంగా ఉన్నాయని వర్తింపజేయడం ద్వారా ఇవి మునుపటి ప్రతిపాదన నుండి అనుసరిస్తాయి. ప్రోక్లస్ గుర్తించినట్లుగా, యూక్లిడ్ సమాంతర రేఖలకు అలాంటి ఆరు ప్రమాణాలలో మూడు మాత్రమే ఇస్తుంది.

యూక్లిడ్ యొక్క ప్రతిపాదన 29 మునుపటి రెండింటికి సంభాషణ. మొదట, ఒక ట్రాన్స్వర్సల్ రెండు సమాంతర పంక్తులను కలుస్తే, ప్రత్యామ్నాయ అంతర్గత కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. కాకపోతే, ఒకటి మరొకటి కంటే గొప్పది, ఇది దాని అనుబంధం ఇతర కోణం యొక్క సప్లిమెంట్ కంటే తక్కువగా ఉందని సూచిస్తుంది. ఐదవ పోస్టులేట్కు విరుద్ధంగా రెండు లంబ కోణాల కన్నా తక్కువ ఉన్న ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ఒకే వైపున అంతర్గత కోణాలు ఉన్నాయని ఇది సూచిస్తుంది. రెండు సమాంతర రేఖల యొక్క ట్రాన్స్వర్సల్ మీద, సంబంధిత కోణాలు సమానమైనవి మరియు ఒకే వైపున ఉన్న అంతర్గత కోణాలు రెండు లంబ కోణాలకు సమానం అని పేర్కొనడం ద్వారా ఈ ప్రతిపాదన కొనసాగుతుంది. ఈ ప్రకటనలు ప్రాప్ 28 ను అనుసరించే విధంగానే అనుసరిస్తాయి. 27 నుండి.

యూక్లిడ్ యొక్క రుజువు ఐదవ పోస్టులేట్‌ను అవసరమైన ఉపయోగం చేస్తుంది, అయినప్పటికీ, జ్యామితి వాడకం యొక్క ఆధునిక చికిత్సలు <స్పాన్> ప్లేఫైర్ యొక్క ఆక్సియం . ప్రతిపాదన 29 ను నిరూపించడానికి, ప్లేఫేర్ యొక్క సిద్ధాంతాన్ని uming హిస్తూ, ట్రాన్స్వర్సల్ రెండు సమాంతర పంక్తులను దాటనివ్వండి మరియు ప్రత్యామ్నాయ అంతర్గత కోణాలు సమానంగా ఉండవని అనుకుందాం. ట్రాన్స్వర్సల్ మొదటి పంక్తిని దాటిన బిందువు ద్వారా మూడవ పంక్తిని గీయండి, కానీ ట్రాన్స్వర్సల్ రెండవ పంక్తితో చేసే కోణానికి సమానమైన కోణంతో. ఇది ఒక పాయింట్ ద్వారా రెండు వేర్వేరు పంక్తులను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, రెండూ మరొక పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటాయి, ఇది సిద్ధాంతానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

అధిక డైమెన్షనల్ ప్రదేశాలలో, విభిన్న బిందువులలో ప్రతి పంక్తుల సమితిని కలిసే పంక్తి ఆ పంక్తుల సమితి యొక్క వివాదం. రెండు డైమెన్షనల్ (విమానం) కేసులా కాకుండా, రెండు పంక్తుల కంటే ఎక్కువ సెట్ల కోసం ట్రాన్స్వర్సల్స్ ఉనికిలో ఉన్నాయని హామీ ఇవ్వబడదు. యూక్లిడియన్ 3-స్పేస్‌లో, A <స్పాన్> రెగ్యులస్ అనేది <స్పాన్> స్కేవ్ లైన్స్ , r యొక్క సమితి, అంటే R యొక్క ప్రతి పంక్తిలో ప్రతి పాయింట్ ద్వారా, R యొక్క ఒక విలోమతను దాటుతుంది మరియు R యొక్క ట్రాన్స్వర్సల్ యొక్క ప్రతి బిందువు R యొక్క రేఖను దాటుతుంది. రెగ్యులస్ R యొక్క ట్రాన్స్వర్సల్స్ సమితి కూడా రెగ్యులస్, దీనిని వ్యతిరేక రెగ్యులస్, r ° అని పిలుస్తారు. ఈ స్థలంలో, మూడు పరస్పర వక్ర పంక్తులు ఎల్లప్పుడూ రెగ్యులర్ వరకు విస్తరించవచ్చు.

• పాయింట్
• శీర్షం

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).