عرضی تعریف

یک عرضی 8 زاویه تولید می کند ، همانطور که در نمودار بالا نشان داده شده است:

• 4 با هر دو خط ، یعنی α ؛ ، β ؛ ، γ ؛ و δ ؛ و سپس α ؛ _{1 ، β ؛ 1 ، γ ؛ 1 و δ ؛ 1 < /زیر> ؛ وت}

• 4 مورد داخلی (بین دو خط) ، یعنی α ؛ ، β ؛ γ ؛ 1 و δ ؛ 1 و 4 نمای بیرونی ، یعنی α ؛ _{1 ، β ؛ 1 ، γ ؛ و δ ؛.}

عرضی که دو خط موازی را در زاویه های راست برش می دهد ، به عنوان یک عمود بر عرضی نامیده می شود. در این حالت ، تمام 8 زاویه زاویه مناسب هستند. هنگامی که خطوط موازی هستند ، موردی که غالباً در نظر گرفته می شود ، یک عرضی چندین سازگار و چندین زاویه تکمیلی تولید می کند. برخی از این جفت های زاویه ای نام های خاصی دارند و در زیر مورد بحث قرار می گیرد:

زاویه های جایگزین

یک جفت زاویه متناوب. با خطوط موازی ، متناسب هستند.

زاویه های جایگزین چهار جفت زاویه هستند که:

• Have distinct vertex points,

• در طرف های مخالف عرضی و

• هر دو زاویه داخلی هستند یا هر دو زاویه خارجی هستند.

اگر دو زاویه یک جفت متناسب باشند ، زاویه های هر یک از جفت های دیگر نیز متناسب هستند. یک قضیه هندسه مطلق (از این رو در هر دو hyperbolic و هندسه اقلیدسی ) ، ثابت می کند که اگر زاویه یک جفت زاویه متناوب یک عرضی متناسب باشد ، از دو خط است موازی هستند (غیر علاقه مند). از فرضیه موازی اقلیدس نتیجه می گیرد که اگر دو خط موازی باشند ، زاویه یک جفت زاویه متناوب یک عرضی متناسب است.

زاویه های مربوطه

یک جفت زاویه مربوطه. با خطوط موازی ، متناسب هستند.

زاویه های مربوطه چهار جفت زاویه هستند که:

• نقاط ورتکس متمایز داشته باشید ،

• در همان طرف عرضی دراز بکشید و

• یک زاویه داخلی و دیگری بیرونی است.

دو خط موازی هستند و فقط اگر دو زاویه از هر جفت زاویه مربوطه از هر عرضی متناسب باشند. یک قضیه هندسه مطلق (از این رو در هندسه هایپربولیک و اقلیدسی معتبر است) ، ثابت می کند که اگر زاویه یک جفت از زوایای مربوطه یک عرضی متناسب باشد ، دو خط موازی هستند (غیر متعارف) بشر از فرضیه موازی اقلیدس نتیجه می گیرد که اگر دو خط موازی باشند ، زاویه یک جفت از زوایای مربوطه یک عرضی متناسب است. اگر زاویه یک جفت زاویه مربوطه متناسب باشد ، زاویه های هر یک از جفت های دیگر نیز متناسب هستند. در تصاویر مختلف با خطوط موازی در این صفحه ، جفت زاویه مربوطه عبارتند از: α ؛ = α ؛ _{1 ، β ؛ = β ؛ 1 ، γ ؛ = γ ؛ 1 و δ ؛ = δ ؛ 1 .}

زاویه های داخلی متوالی

یک جفت زاویه متوالی. با خطوط موازی ، آنها به دو زاویه راست اضافه می کنند.

زوایای داخلی متوالی دو جفت زاویه هستند که:

• نقاط ورتکس متمایز داشته باشید ،

• در همان طرف عرضی دراز بکشید و

• هر دو داخلی هستند.

دو خط موازی هستند و فقط اگر دو زاویه از هر جفت زاویه داخلی متوالی هر عرضی مکمل باشد (جمع تا 180 درجه). یک قضیه از هندسه مطلق (از این رو در هندسه هایپربولیک و اقلیدسی معتبر است) ، ثابت می کند که اگر زاویه یک جفت زاویه داخلی متوالی مکمل باشد ، دو خط موازی هستند (غیرقانونی). از فرضیه موازی اقلیدس نتیجه می گیرد که اگر دو خط موازی باشند ، زاویه یک جفت زاویه داخلی متوالی یک عرضی مکمل است. اگر یک جفت زاویه داخلی متوالی مکمل باشد ، جفت دیگر نیز مکمل است.

اگر سه خط در موقعیت کلی یک مثلث تشکیل شود ، پس از آن توسط یک عرضی برش داده می شود ، طول شش بخش حاصل از قضیه منلوس را برآورده می کند.

فرمولاسیون اقلیدس از فرضیه موازی ممکن است از نظر عرضی بیان شود. به طور خاص ، اگر زاویه های داخلی در همان طرف عرضی کمتر از دو زاویه راست باشد ، باید خطوط از هم عبور کنند. در حقیقت ، اقلیدس از همان عبارت به زبان یونانی استفاده می کند که معمولاً به عنوان عرضی ترجمه می شود.

گزاره اقلیدس 27 بیان می کند که اگر یک عرضی از دو خط عبور کند تا زوایای داخلی متناوب متناسب باشد ، خطوط موازی هستند. اقلیدس این را با تضاد اثبات می کند: اگر خطوط موازی نباشند ، باید از هم عبور کنند و مثلث شکل می گیرد. سپس یکی از زوایای متناوب زاویه بیرونی برابر با زاویه دیگر است که یک زاویه داخلی مخالف در مثلث است. این با گزاره 16 متناقض است که بیان می کند که زاویه بیرونی یک مثلث همیشه بیشتر از زوایای داخلی مخالف است.

گزاره اقلیدس 28 این نتیجه را از دو طریق گسترش می دهد. اول ، اگر یک عرضی از دو خط تقاطع کند تا زوایای مربوطه متناسب باشد ، خطوط موازی هستند. دوم ، اگر یک عرضی از دو خط تقاطع کند تا زوایای داخلی در همان طرف عرضی مکمل باشد ، خطوط موازی هستند. اینها از گزاره قبلی با استفاده از این واقعیت که زوایای مخالف خطوط تقاطع برابر هستند و زوایای مجاور در یک خط مکمل هستند ، دنبال می شوند. همانطور که توسط Proclus ذکر شد ، اقلیدس فقط سه مورد از شش معیار احتمالی را برای خطوط موازی ارائه می دهد.

گزاره اقلیدس 29 مکالمه ای با دو مورد قبلی است. اول ، اگر یک عرضی از دو خط موازی تقاطع کند ، زاویه های داخلی متناوب متناسب هستند. اگر اینگونه نباشد ، پس یکی از دیگری بیشتر است ، که این بدان معنی است که مکمل آن کمتر از مکمل زاویه دیگر است. این بدان معنی است که زاویه های داخلی در همان طرف عرضی وجود دارد که کمتر از دو زاویه راست هستند و با فرضیه پنجم مغایرت دارند. این گزاره با بیان اینکه در عرضی از دو خط موازی ، زوایای مربوطه متناسب هستند و زاویه های داخلی در یک طرف برابر با دو زاویه راست است. این اظهارات به همان روشی که پیشنهاد 28 از طرف 27 دنبال می شود ، دنبال می شوند.

اثبات اقلیدس از فرضیه پنجم استفاده اساسی می کند ، با این حال ، درمان های مدرن از هندسه Axiom Playfair . برای اثبات گزاره 29 با فرض Axiom Playfair ، اجازه دهید یک عرضی از دو خط موازی عبور کند و فرض کنید که زاویه های داخلی متناوب برابر نیستند. خط سوم را از نقطه ای بکشید که عرضی از خط اول عبور می کند ، اما با زاویه ای برابر با زاویه ای که عرضی با خط دوم ایجاد می کند. این دو خط مختلف را از طریق یک نقطه ، هر دو به موازات یک خط دیگر ، در تضاد با بدیهی ایجاد می کند.

در فضاهای ابعادی بالاتر ، خطی که هر یک از مجموعه خطوط را در نقاط مجزا تقاطع می کند ، عرضی از آن مجموعه از خطوط است. بر خلاف مورد دو بعدی (هواپیما) ، عرضی ها برای مجموعه های بیش از دو خط تضمین نمی شوند. در فضای اقلیدسی 3-فضای ، یک regulus مجموعه ای از خطوط skew ، r است ، به گونه ای که از طریق هر نقطه در هر خط R ، یک عرضی از R و از طریق عبور می کند هر نقطه از عرضی از R در آنجا خطی از R. را پشت سر می گذارد. مجموعه ای از عرضی ها از یک regulus R نیز یک رجوس است ، به نام Regulus مخالف ، R °. در این فضا ، سه خط متقابل متقابل همیشه می توانند به یک Regulus گسترش یابد.

• نقطه
• رگ

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).