Lintang Definisi

Transversal menghasilkan 8 sudut, seperti yang ditunjukkan pada grafik di atas:

• 4 dengan masing -masing dari dua baris, yaitu α, β, γ dan δ dan kemudian α ₁ , β ₁ , γ ₁ dan δ _{1 < /sub>; Dan}

• 4 di antaranya adalah interior (antara dua baris), yaitu α, β, γ ₁ dan δ ₁ dan 4 di antaranya adalah eksterior, yaitu α ₁ , β ₁ , γ dan δ.

Transversal yang memotong dua garis paralel di sudut kanan disebut transversal tegak lurus. Dalam hal ini, semua 8 sudut adalah sudut yang tepat. Ketika garis paralel, sebuah kasus yang sering dipertimbangkan, sebuah transversal menghasilkan beberapa kongruen dan beberapa sudut tambahan . Beberapa pasangan sudut ini memiliki nama khusus dan dibahas di bawah ini:

Sudut alternatif

Sepasang sudut alternatif. Dengan garis paralel, mereka kongruen.

Sudut alternatif adalah empat pasang sudut yang:

• Have distinct vertex points,

• Berbaring di sisi yang berlawanan dari transversal dan

• Kedua sudutnya bersifat interior atau kedua sudutnya adalah eksterior.

Jika dua sudut dari satu pasangan kongruen, maka sudut masing -masing pasangan lainnya juga kongruen. Teorema geometri absolut (karenanya berlaku di kedua hiperbolik dan geometri Euclidean ), membuktikan bahwa jika sudut dari sepasang sudut alternatif transversal adalah kongruen maka kedua baris adalah paralel (non-interseksi). Ini mengikuti dari postulat paralel Euclid bahwa jika kedua baris paralel, maka sudut sepasang sudut alternatif dari transversal adalah kongruen.

Sudut yang sesuai

Sepasang sudut yang sesuai. Dengan garis paralel, mereka kongruen.

Sudut yang sesuai adalah empat pasang sudut yang:

• Memiliki titik titik yang berbeda,

• Berbaring di sisi yang sama dari transversal dan

• Satu sudut adalah interior dan yang lainnya adalah eksterior.

Dua baris paralel jika dan hanya jika dua sudut dari setiap sudut yang sesuai dari setiap transversal adalah kongruen. Teorema geometri absolut (karenanya valid dalam geometri hiperbolik dan Euclidean), membuktikan bahwa jika sudut dari sepasang sudut transversal yang sesuai adalah kongruen maka kedua lini paralel (tidak mengotor) . Ini mengikuti dari postulat paralel Euclid bahwa jika kedua baris paralel, maka sudut sepasang sudut transversal yang sesuai adalah kongruen. Jika sudut dari satu pasang sudut yang sesuai adalah kongruen, maka sudut masing -masing pasangan lainnya juga kongruen. Dalam berbagai gambar dengan garis paralel di halaman ini, pasangan sudut yang sesuai adalah: α = α ₁ , β = β _{1 , γ = γ 1 dan δ = δ 1 .}

Sudut interior berturut -turut

Sepasang sudut berturut -turut. Dengan garis paralel, mereka menambahkan hingga dua sudut kanan.

Sudut interior berturut -turut adalah dua pasang sudut yang:

• Memiliki titik titik yang berbeda,

• Berbaring di sisi yang sama dari transversal dan

• Keduanya interior.

Dua baris paralel jika dan hanya jika dua sudut dari setiap sudut interior berturut -turut dari setiap transversal adalah pelengkap (jumlah hingga 180 °). Teorema geometri absolut (karenanya valid dalam geometri hiperbolik dan Euclidean), membuktikan bahwa jika sudut dari sepasang sudut interior berturut-turut bersifat tambahan maka kedua garis tersebut paralel (tidak menginterti). Ini mengikuti dari postulat paralel Euclid bahwa jika kedua garis paralel, maka sudut dari sepasang sudut interior berturut -turut dari transversal adalah tambahan. Jika sepasang sudut interior berturut -turut bersifat tambahan, pasangan lainnya juga tambahan.

Jika tiga garis pada posisi umum membentuk segitiga kemudian dipotong oleh transversal, panjang enam segmen yang dihasilkan memenuhi teorema Menelaus .

Formulasi postulat paralel Euclid dapat dinyatakan dalam hal transversal. Secara khusus, jika sudut interior di sisi yang sama dari transversal kurang dari dua sudut kanan maka garis harus berpotongan. Faktanya, Euclid menggunakan frasa yang sama dalam bahasa Yunani yang biasanya diterjemahkan sebagai transversal.

Proposisi Euclid 27 menyatakan bahwa jika transversal memotong dua baris sehingga sudut interior alternatif adalah kongruen, maka garisnya paralel. Euclid membuktikan hal ini dengan kontradiksi: jika garis tidak paralel maka mereka harus berpotongan dan segitiga terbentuk. Kemudian salah satu sudut alternatif adalah sudut eksterior yang sama dengan sudut lain yang merupakan sudut interior yang berlawanan dalam segitiga. Ini bertentangan dengan proposisi 16 yang menyatakan bahwa sudut eksterior segitiga selalu lebih besar dari sudut interior yang berlawanan.

Proposisi Euclid 28 memperluas hasil ini dalam dua cara. Pertama, jika transversal memotong dua baris sehingga sudut yang sesuai adalah kongruen, maka garisnya paralel. Kedua, jika transversal memotong dua baris sehingga sudut interior di sisi yang sama dari transversal adalah tambahan, maka garisnya paralel. Ini mengikuti dari proposisi sebelumnya dengan menerapkan fakta bahwa sudut yang berlawanan dari garis -garis berpotongan adalah sama dan bahwa sudut yang berdekatan pada garis adalah pelengkap. Seperti dicatat oleh Proclus, Euclid hanya memberikan tiga dari enam kriteria yang mungkin untuk garis paralel.

Proposisi Euclid 29 adalah sebaliknya untuk dua sebelumnya. Pertama, jika transversal memotong dua garis paralel, maka sudut interior alternatif adalah kongruen. Jika tidak, maka yang satu lebih besar dari yang lain, yang menyiratkan suplemennya kurang dari suplemen sudut lainnya. Ini menyiratkan bahwa ada sudut interior di sisi yang sama dari transversal yang kurang dari dua sudut kanan, bertentangan dengan postulat kelima. Proposisi berlanjut dengan menyatakan bahwa pada transversal dua garis paralel, sudut yang sesuai adalah kongruen dan sudut interior di sisi yang sama sama dengan dua sudut kanan. Pernyataan -pernyataan ini mengikuti dengan cara yang sama seperti Prop. 28 mengikuti dari Prop. 27.

Bukti Euclid memanfaatkan postulat kelima, namun, perawatan modern dari penggunaan geometri Playfair's Axiom sebagai gantinya. Untuk membuktikan Proposisi 29 dengan asumsi aksioma Playfair, biarkan transversal melintasi dua garis paralel dan anggaplah bahwa sudut interior alternatif tidak sama. Gambarlah garis ketiga melalui titik di mana transversal melintasi garis pertama, tetapi dengan sudut yang sama dengan sudut yang dibuat transversal dengan garis kedua. Ini menghasilkan dua garis yang berbeda melalui suatu titik, keduanya sejajar dengan garis lain, bertentangan dengan aksioma.

Dalam ruang dimensi yang lebih tinggi, garis yang memotong masing -masing set garis dalam titik yang berbeda adalah transversal dari set garis tersebut. Berbeda dengan kasus dua dimensi (pesawat), transversal tidak dijamin ada untuk set lebih dari dua baris. Dalam Euclidean 3-space, A Regulus adalah satu set garis miring , r, sehingga melalui setiap titik pada setiap baris R, ada transversal r dan melalui Setiap titik transversal R di sana melewati garis R. Himpunan transversal dari regulus R juga merupakan regulus, yang disebut Regulus yang berlawanan, R °. Di ruang ini, tiga garis yang saling condong selalu dapat diperluas ke regulus.

• Titik
• Puncak

“Transversal (Geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 27 Dec. 2019, en.wikipedia.org/wiki/Transversal_(geometry).