प्रमेय परिभाषा

कई गणितीय प्रमेय सशर्त कथन हैं, जिनका प्रमाण <स्पैन> हाइपोथेसिस या <स्पैन> परिसर के रूप में जानी जाने वाली शर्तों से निष्कर्ष को कम करता है। सत्य के औचित्य के रूप में प्रमाण की व्याख्या के प्रकाश में, निष्कर्ष को अक्सर परिकल्पनाओं के एक आवश्यक परिणाम के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, यह निष्कर्ष सत्य है कि परिकल्पना सच है - आगे की धारणाओं के बिना। हालांकि, सशर्त को कुछ डिडक्टिव सिस्टम में अलग-अलग तरीके से व्याख्या किया जा सकता है, जो व्युत्पत्ति नियमों और सशर्त प्रतीक (जैसे, गैर-शास्त्रीय तर्क) को सौंपे गए अर्थों पर निर्भर करता है।

यद्यपि प्रमेयों को पूरी तरह से प्रतीकात्मक रूप में लिखा जा सकता है (जैसे कि प्रपोजल कैलकुलस में प्रस्ताव), उन्हें अक्सर एक प्राकृतिक भाषा में अनौपचारिक रूप से व्यक्त किया जाता है जैसे कि बेहतर पठनीयता के लिए अंग्रेजी। सबूतों के बारे में भी यही सच है, जो अक्सर तार्किक रूप से संगठित और स्पष्ट रूप से शब्द अनौपचारिक तर्कों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जिसका उद्देश्य पाठकों को किसी भी संदेह से परे प्रमेय के कथन के सत्य के बारे में समझाना है, और जिसमें से एक औपचारिक प्रतीकात्मक प्रमाण सिद्धांत रूप में निर्माण किया जा सकता है।

बेहतर पठनीयता के अलावा, अनौपचारिक तर्क आमतौर पर विशुद्ध रूप से प्रतीकात्मक लोगों की तुलना में जांच करना आसान होता है। वास्तव में, कई गणितज्ञ एक ऐसे प्रमाण के लिए एक वरीयता व्यक्त करेंगे जो न केवल एक प्रमेय की वैधता को प्रदर्शित करता है, बल्कि किसी तरह से भी बताता है कि यह स्पष्ट रूप से सच क्यों है। कुछ मामलों में, कोई भी अपने प्रमाण के रूप में एक तस्वीर का उपयोग करके एक प्रमेय को प्रमाणित करने में सक्षम हो सकता है।

Because theorems lie at the core of mathematics, they are also central to its aesthetics. Theorems are often described as being trivial, or difficult, or deep, or even beautiful. These subjective judgments vary not only from person to person, but also with time and culture: for instance, as a proof is obtained, simplified or better understood, a theorem that was once difficult may become trivial. On the other hand, a deep theorem may be stated simply, but its proof may involve surprising and subtle connections between disparate areas of mathematics. Fermat's Last Theorem is a particularly well-known example of such a theorem.

नोबेल पुरस्कार विजेता भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन (1985) के अनुसार, किसी भी प्रमेय, चाहे पहले स्थान पर साबित करना कितना भी मुश्किल हो, गणितज्ञों द्वारा तुच्छ के रूप में देखा जाता है, एक बार यह साबित हो गया है। इसलिए, गणितीय वस्तुओं की बिल्कुल दो प्रकार हैं: तुच्छ, और जो अभी तक साबित नहीं हुए हैं। आर। ग्राहम ने अनुमान लगाया है कि हर साल 250,000 गणितीय प्रमेय प्रकाशित होते हैं।

• मामूली

“Theorem.” Wikipedia, Wikimedia Foundation, 30 May 2020, en.wikipedia.org/wiki/Theorem.